Untergruppen Schnitt und Vereinigung

12.03.2012, 12:41

help11

Untergruppen Schnitt und Vereinigung

Meine Frage:
Guten Tag,
ich versuche gerade für mich zu klären, warum die Vereinigung von zwei Untergruppen keine Untergruppe ist und warum der Schnitt dies doch ist.
Schnitt
1. Warum liegt zu jedem Element ein Inverses im Schnitt?
Vereinigung
2. Die Vereinigung ist nicht unbedingt abgeschlossen.
3. Inverse Elemente in der Vereinigung.

Meine Ideen:
1. Könnte es nicht sein das nur das neutrale Element und ein weiteres Element im Schnitt liegen? Dann hätte dieses eine Element ja kein Inverses, weshalb geht das nicht?
2. Das ist richtig oder? Da ich ja ein Element aus U1 mit einem aus U2 verknüpfen kann und ich nicht weiß ob das Verknüpfte Element in einem der beiden Untergruppen liegt.
3. Anschaulich klar, da Inverse in der Untergruppe von einem gleichen Element unterschiedlich sein können, dass heißt das die Inversen unter Umständen nicht mehr eindeutig sind. Wie zeige ich das?

Vielen Dank schonmal :-).

12.03.2012, 12:52

galoisseinbruder

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Hallo,

versuch mal formal zu zeigen, dass der Schnitt eine Untergruppe ist.
Um zu zeigen dass die Vereinigung im Allgemeinen keine Untergruppe ist ist ein Gegenbeispiel das Sinvollste:
Betrachte z.B. $\begin{eqnarray*} ( \mathbb Z , +) \end{eqnarray*}$ und darin die Untergruppen $\begin{eqnarray*} 2\mathbb Z \end{eqnarray*}$ aller geraden Zahlen und die Untergruppe $\begin{eqnarray*} 3\mathbb Z \end{eqnarray*}$ aller durch 3 teilbaren Zahlen. Ist 5 in der Vereinigung?

12.03.2012, 13:28

help112

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$\begin{eqnarray*} x \in U1 \cap U2 \Leftrightarrow x \in U1 \wedge x \in U2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x^{-1} \in U1 \wedge x^{-1} \in U2 \Leftrightarrow x^{-1} \in U1 \cap U2 \end{eqnarray*}$

Ist das richtig? könnte $\begin{eqnarray*} x^{-1} \end{eqnarray*}$ nicht in U1 anders aussehen als in U2?

Bei der Vereinigung steht dann da
$\begin{eqnarray*} x \in U1 \vee x \in U2 \end{eqnarray*}$
Die Fälle das x nur in U1 oder in U2 liegen, sind klar, da funktioniert es. Aber der dritte Fall wäre doch, dass es sowohl in U1 als auch in U2 liegt und in diesem Fall dürfte es nicht funktionieren.
$\begin{eqnarray*} x \in U1 \wedge x \in U2 \end{eqnarray*}$

12.03.2012, 13:35

galoisseinbruder

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Zitat:

Ist das richtig? könnte $\begin{eqnarray*} x^{-1} \end{eqnarray*}$ nicht in U1 anders aussehen als in U2?

Ja. Nein, da beides Untergruppen sind liegt das Inverse je auch in der beinhaltenden Gruppe.

Zur Vereinigung:
Um zu zeigen, dass eine Aussage nicht gilt muss man ein Gegenbeispiel angeben (was ich für dich ja schon getan habe.). Ich verstehe auch nicht was du da genau versuchst zu zeigen.

12.03.2012, 13:49

help112

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Also sind Inverse in der Untergruppe immer gleich dem Inversen in der "Obergruppe" ?
Und dein Bsp. zeigt das die Vereinigung nicht abgeschlossen ist, richtig? Augenzwinkern

12.03.2012, 13:56

galoisseinbruder

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Ja und ja.

12.03.2012, 16:51

help112

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Zitat:

Original von help112
Also sind Inverse in der Untergruppe immer gleich dem Inversen in der "Obergruppe"

Warum folgt das aus den Untergruppenaxiomen?
$\begin{eqnarray*} a \in U \Rightarrow a^{-1} \in U \end{eqnarray*}$

Das heißt doch nur das, dass a ein Inverses in U besitzt, und nicht das es das Inverse aus G sein muss.
Vlt. noch eine kleine Erklärung, wäre wirklich super ;-).

12.03.2012, 17:06

galoisseinbruder

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Die Verknüpfung in der untergruppe ist identisch mit der in der Gruppe, allerdings auf einer kleineren Menge. Es gilt aber bereits in der Gruppe dass das Inverse eindeutig bestimmt ist.
Wenn jetzt weniger Elemente zur Verfügung stehen, wo soll ein zusätzliches Inverses herkommen?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} a \in U \Rightarrow a^{-1} \in U \end{eqnarray*}$ Das heißt doch nur das, dass a ein Inverses in U besitzt, und nicht das es das Inverse aus G sein muss.

Das Inverse muss das aus G sein. Die Bedingung heißt dass das Inverse in U enthalten ist.

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