Grenzwert berechnen

12.03.2012, 13:22

chillerStudent

Grenzwert berechnen

Hallo,

ich möchte den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} u_n=\left(1+\frac{x^2}{n^2} \right)^{n^2} \end{eqnarray*}$ berechnen.

Ich brauche Hilfe beim Ansatz. Ist dieser Ansatz richtig:

$\begin{eqnarray*} \left(\left(1+\frac{x^2}{n^2} \right)^{n^3} \right) ^{\frac{1}{n} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{x} = \left(1+\frac{x^2}{n^2} \right)^{n^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} {e^{x}} ^{\frac{1}{n}}=e^{0} =1 \end{eqnarray*}$

12.03.2012, 13:27

HAL 9000

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Irgendwie seltsam, dein Übergang zu Exponent $\begin{eqnarray*} n^3 \end{eqnarray*}$ - was bezweckst du damit? verwirrt

Naheliegend wäre doch eher folgendes: $\begin{eqnarray*} (u_n) \end{eqnarray*}$ ist eine Teilfolge von $\begin{eqnarray*} v_k = \left( 1+\frac{x^2}{k} \right)^k \end{eqnarray*}$ , nämlich $\begin{eqnarray*} u_n = v_{n^2} \end{eqnarray*}$ .

Aus der Konvergenz von $\begin{eqnarray*} (v_k) \end{eqnarray*}$ folgt dann auch die von $\begin{eqnarray*} (u_n) \end{eqnarray*}$ , mit dem gleichen Grenzwert.

12.03.2012, 13:32

chillerStudent

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Zitat:

Naheliegend wäre doch eher folgendes: $\begin{eqnarray*} (u_n) \end{eqnarray*}$ ist eine Teilfolge von $\begin{eqnarray*} v_k = \left( 1+\frac{x^2}{k} \right)^k \end{eqnarray*}$ , nämlich $\begin{eqnarray*} u_n = v_{n^2} \end{eqnarray*}$ . Aus der Konvergenz von $\begin{eqnarray*} (v_k) \end{eqnarray*}$ folgt dann auch die von $\begin{eqnarray*} (u_n) \end{eqnarray*}$ , mit dem gleichen Grenzwert.

verstehe ich nicht.

n^3 * (1/n) = n^2

12.03.2012, 13:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von chillerStudent
n^3 * (1/n) = n^2

Richtig, aber noch mal: Was soll das bringen?

Das hier

Zitat:

Original von chillerStudent
$\begin{eqnarray*} e^{x} = \left(1+\frac{x^2}{n^2} \right)^{n^3} \end{eqnarray*}$

ist jedenfalls falsch, auch im Grenzwert $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ : Die rechte Seite divergiert da, für alle $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ . unglücklich

Das zeigt schon allein die Bernoulli-Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{x^2}{n^2} \right)^{n^3} \geq 1+n^3\cdot \frac{x^2}{n^2} = 1+nx^2 \to \infty \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$

12.03.2012, 13:55

chillerStudent

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mhhh... was nun?
$\begin{eqnarray*} v_k = \left( 1+\frac{x^2}{k} \right)^k \end{eqnarray*}$ das ist für mich auch nicht einfacher. verwirrt

12.03.2012, 14:01

HAL 9000

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Ich hatte gedacht, der Standardgrenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty} \left( 1 + \frac{a}{k} \right)^k = e^a \end{eqnarray*}$

wäre dir geläufig? Man muss ja nicht jedesmal das Rad neu erfinden.

12.03.2012, 14:05

chillerStudent

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Standartgrenzwert? leider kenn ich den noch nicht bzw. hab nie damit gerechnet. Vielleicht muss man diesmal doch das Rad neu erfinden.

Edit:

Das heißt: $\begin{eqnarray*} u_n=\left(1+\frac{x^2}{n^2} \right)^{n^2}=e^{x^2} \end{eqnarray*}$ ??

12.03.2012, 14:07

HAL 9000

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Das für alle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ aus dem $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{k} \right)^k =: e \end{eqnarray*}$ herzuleiten, ist eine umfängliche Angelegenheit, die ich hier bestimmt nicht vorführen werde. Zumal das schon einige Male im Board gemacht bzw. zumindest angedeutet wurde - such mal ein bisschen, wenn du dir das hier unbedingt aufhalsen möchtest.

P.S.: Übrigens - Standardgrenzwert!!! Forum Kloppe

12.03.2012, 14:16

chillerStudent

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Zitat:

P.S.: Übrigens - Standardgrenzwert!!! Forum Kloppe

hahah sorry

Habs gefunden: Wo? In der Vorlesungsmappe. Freude

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