Fortsetzungslemma Körpererweiterung

12.03.2012, 14:01

latingirl

Fortsetzungslemma Körpererweiterung

Meine Frage:
Hallo zusammen!

Zunächst einmal:
$\begin{eqnarray*} \alpha : K\rightarrow E \end{eqnarray*}$ Homomorphismus, dann $\begin{eqnarray*} \alpha^* : K[x]\rightarrow E[x] \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \alpha ^*(\sum(k_jx^j))=\sum\alpha (k_j)x^j \end{eqnarray*}$ .
Dann ist doch $\begin{eqnarray*} \alpha^* \end{eqnarray*}$ auch ein Homomorphismus, oder?

Ich habe zwei Fragen zum Beweis des folgenden Satzes:
Sei $\begin{eqnarray*} \alpha : K\rightarrow E \end{eqnarray*}$ ein Homomorphismus zwischen Körpern K und E, $\begin{eqnarray*} f\in K[x] \end{eqnarray*}$ irreduzibel, L|K Körpererweiterung, $\begin{eqnarray*} a\in L \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle von f und $\begin{eqnarray*} a'\in E \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle von $\begin{eqnarray*} \alpha^*(f) \end{eqnarray*}$ . Dann hat $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ genau eine Fortsetzung zu einem Homomorphismus $\begin{eqnarray*} \beta : K(a)\rightarrow E \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \beta (a)=a' \end{eqnarray*}$ .

Nun meine beiden Fragen:

1.
f ist das Minimalpolynom von a über K und $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist injektiv (soweit klar!). Aber warum bleibt die Irreduzibilität von f erhalten in $\begin{eqnarray*} \alpha^*(f) \end{eqnarray*}$ ??? $\begin{eqnarray*} \alpha^*(f) \end{eqnarray*}$ ist dann das Minimalpolynom von a' über K'= $\begin{eqnarray*} \alpha (K) \end{eqnarray*}$ (klar!).

2.
... Ferner liefert $\begin{eqnarray*} \alpha^* \end{eqnarray*}$ einen Homomorphismus $\begin{eqnarray*} K[x]/fK[x]\rightarrow K'[x]/\alpha^*(f)K'[x] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \overline x\rightarrow \overline x \end{eqnarray*}$ .
Wie sieht man diese letzte Eigenschaft???

Meine Ideen:
zu 1.:
Etwa aufgrund der Injektivität von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ???
Ich kann mir das nicht konkret vorstellen...

zu 2.:
Dass ein Homomorphismus vorliegt, liegt doch daran, dass auch $\begin{eqnarray*} \alpha^* \end{eqnarray*}$ ein Homomorphismus ist, oder???
Kann ich die letzte Eigenschaft iwie nachrechnen, sprich $\begin{eqnarray*} x+fK[x]\rightarrow x+\alpha^*(f)K'[x] \end{eqnarray*}$ ? Oder bedeutet das nur, dass ich so einen Homomorphismus finden kann, der diese Eigenschaft erfüllt?

Danke für jede Antwort!

12.03.2012, 22:30

gonnabphd

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Hi,

Zitat:

Zunächst einmal: $\begin{eqnarray*} \alpha : K\rightarrow E \end{eqnarray*}$ Homomorphismus, dann $\begin{eqnarray*} \alpha^* : K[x]\rightarrow E[x] \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \alpha ^*(\sum(k_jx^j))=\sum\alpha (k_j)x^j \end{eqnarray*}$ . Dann ist doch $\begin{eqnarray*} \alpha^* \end{eqnarray*}$ auch ein Homomorphismus, oder?

Ja.

Zitat:

1.
f ist das Minimalpolynom von a über K und $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist injektiv (soweit klar!). Aber warum bleibt die Irreduzibilität von f erhalten in $\begin{eqnarray*} \alpha^*(f) \end{eqnarray*}$ ??? $\begin{eqnarray*} \alpha^*(f) \end{eqnarray*}$ ist dann das Minimalpolynom von a' über K'= $\begin{eqnarray*} \alpha (K) \end{eqnarray*}$ (klar!).

Die Abbildung $\begin{eqnarray*} \alpha: K\to K' \end{eqnarray*}$ ist ein Körper-Isomorphismus. D.h. wäre $\begin{eqnarray*} \alpha^\ast(f)(X) = g^\ast(X) h^\ast(X) \end{eqnarray*}$ reduzibel in K', dann würde sich diese Eigenschaft übertragen auf

$\begin{eqnarray*} f(X) =\left( \alpha^\ast\right) ^{-1}(\alpha^\ast(f)(X)) = \left( \alpha^\ast\right) ^{-1}(g^\ast(X) h^\ast(X)) = g(X) h(X) \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} g^\ast = \alpha^\ast(g), \; h^\ast = \alpha^\ast(h) \in K'[X] \end{eqnarray*}$ . (Die Körper sind isomorph bedeutet ja schliesslich auch, dass alle algebraischen Eigenschaften gleich sein müssen - da Homomorphismen genau diese Eigenschaften erhalten).

Zitat:

2.
... Ferner liefert $\begin{eqnarray*} \alpha^* \end{eqnarray*}$ einen Homomorphismus $\begin{eqnarray*} K[x]/fK[x]\rightarrow K'[x]/\alpha^*(f)K'[x] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \overline x\rightarrow \overline x \end{eqnarray*}$ .
Wie sieht man diese letzte Eigenschaft???

Du hast ein kommutierendes Diagram

$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} K[X] &\overset{\alpha^\ast}{ \longrightarrow} & K'[X] \\ \text{\small{$\pi$}}\Bigg\downarrow & & \Bigg\downarrow \text{\small{$\pi'$}} \\ K[X]/(f) & \overset{\overline \alpha}\longrightarrow & K'[X]/(\alpha^\ast(f)) \end{matrix} \end{eqnarray*}$

Die untere Abbildung bekommt man hierbei z.B. aufgrund der universellen Eigenschaft von Quotienten: Es ist $\begin{eqnarray*} \pi'\circ \alpha^\ast \end{eqnarray*}$ konstant auf jeder Äquivalenzklasse $\begin{eqnarray*} g(X) + f(X)K[X] \end{eqnarray*}$ und deshalb gibt es eine eindeutige Abbildung

$\begin{eqnarray*} \overline\alpha: K[X]/(f) \to K'[X](\alpha^\ast(f)) \end{eqnarray*}$

so dass das Diagramm kommutiert.

Edit: Die Konstruktion bis hierhin zeigt einmal die Existenz eines Isomorphismus $\begin{eqnarray*} K(\alpha) \cong K(\beta) \end{eqnarray*}$ . Die Eindeutigkeit desselben folgt daraus, dass aus $\begin{eqnarray*} \varphi(\alpha) = \beta \end{eqnarray*}$ auch folgt $\begin{eqnarray*} \varphi(\alpha^k) = \beta^k \end{eqnarray*}$ für alle k. Damit ist solches $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ eindeutig bestimmt, da notwendigerweise gelten muss

$\begin{eqnarray*} \varphi(x_0 + x_1 \alpha + \dots x_n\alpha^n) = \alpha(x_0) + \alpha(x_1) \beta + \dots + \alpha(x_n) \beta^n \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} x_0,x_1, \dots, x_n\in K \end{eqnarray*}$ . Und jedes Element in $\begin{eqnarray*} K(\alpha) \end{eqnarray*}$ hat diese Gestalt.

13.03.2012, 08:19

latingirl

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Hallo gonnabphd!

Dankeschön für deine sehr ausführliche Antwort.

Zitat:

Original von gonnabphd

Zitat:

In meiner Frage ging es mir eigtl. weniger um die Eigenschaft der Homomorphie (die ist ja aufgrund der Homomorphieeigenschaft von $\begin{eqnarray*} \alpha^* \end{eqnarray*}$ klar.
Wie sieht man aber $\begin{eqnarray*} \overline x\rightarrow \overline x \end{eqnarray*}$ ???

Gruß,
latingirl

13.03.2012, 08:27

gonnabphd

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Wegen der Definition von $\begin{eqnarray*} \overline \alpha \end{eqnarray*}$ (wie gesagt: das Diagramm soll kommutieren). Deshalb ist $\begin{eqnarray*} \overline \alpha(X+(f)) = \overline\alpha(\pi(X)) = \pi'(\alpha^\ast(X)) = X+(\alpha^\ast(f)) \end{eqnarray*}$

13.03.2012, 09:44

latingirl

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Ah, ok, ich hatte solch ein kommut. Diagramm zwar noch nie, aber ich nehm's so gut wie's geht zur Kenntnis...

Warum eigtl. Quotienten??? Sind das nicht Faktorringe???

13.03.2012, 10:00

ollie3

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hallo latingirl,
ein faktorring ist immer auch ein quotientenring bzw ein restklassenring und umgekehrt, die begriffe meinen eigentlich dasselbe. smile

gruss ollie3

13.03.2012, 10:04

latingirl

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Zitat:

Die untere Abbildung bekommt man hierbei z.B. aufgrund der universellen Eigenschaft von Quotienten: Es ist $\begin{eqnarray*} \pi'\circ \alpha^\ast \end{eqnarray*}$ konstant auf jeder Äquivalenzklasse $\begin{eqnarray*} g(X) + f(X)K[X] \end{eqnarray*}$

Diese Eigenschaft habe ich bzgl. Faktorringen/Quot.ringen noch nie gehört...

13.03.2012, 12:32

gonnabphd

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Zitat:

Diese Eigenschaft habe ich bzgl. Faktorringen/Quot.ringen noch nie gehört...

Das ist kein Problem. Dann kannst du auch einfach direkt zeigen, dass die Abbildung

$\begin{eqnarray*} \overline\alpha(g(X) + (f)) := (\pi'\circ\alpha^\ast)(g(X)) \end{eqnarray*}$

ein wohldefinierter Homomorphismus ist.

13.03.2012, 13:14

latingirl

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Und wie sehe ich dann die Konstantheit?

13.03.2012, 13:23

gonnabphd

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Genau das musst du jetzt rausfinden.

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