Linear unabhängig, EZS, Basis

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SilverBullet Auf diesen Beitrag antworten »
Linear unabhängig, EZS, Basis
Hallo habe hier ne kleine Frage zu einem Ankreuztest :

Welche der folgenden Systeme von Vektoren in R³ sind linear unabhängig, welche sind ein Erzeugendensystem, welche eine Basis ?


1 : (1,-1,0), (0,1,-1)



Antwort :
Ich hätte hier erstmal direkt angekreuzt, dass die linear unabhängig sind (ist klar), dass sie ein Erzeugendensystem sind und das sie eine Basis sind.


Das sie ein Erzeugendensystem sind gilt doch, da sie einen 2-dimensionalen Raum aufspannen (eine Ebene).

Da sie auch maximal linear unabhängig sind sind sie auch eine Basis des 2-dimensionalen Raumes.


Stimmt das soweit ?

Den R² spannen die beiden Vektoren ja nicht auf, stimmt auch ne ?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

du hast doch hier einen 3-dimensionalen raum, d.h. zwei vektoren reichen niemals aus um eine basis zu bilden. Deshalb sind die beiden auch kein EZS.
Es gilt Anzahl der l.u. Vektoren = dim Vektorraum => Basis
SilverBullet Auf diesen Beitrag antworten »

Ja deshalbt spannen die 2 auch niemals einen 3-dimensionalen Raum auf.

Aber wie sieht es mit einem 2-dimensionalen aus ?
Diese 2 Spannen doch ganz eindeutig einen 2-dimensionalen Raum auf, die 3te Koordinate kann man doch dann einfach weglassen oder nicht ?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage in diesem Test ist unpräzise gestellt. Diese Beiden Vektoren sind

- linear unabhängi

- sie spannen einen 2-dimensionalen Unterraum U des auf. Daher sind sie Basis (und damit auch Erzeugendensystem) von U.

In der FRage hätte es wohl Basis von R³ heissen sollen...

Mit der Aussage, den R² spannen sie nicht auf, wäre ich vorsichtig. Was ist denn der R², streng genommen? Augenzwinkern

Ich verstehe schon was Du hier meinst, du siehst den R² wohl als

an Augenzwinkern
SilverBullet Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ganz genau so habe ich mir das auch gedacht. Nen Kumpel war der ansicht, dass sich die Frage auf den R³ bezieht aber so genau wurde das nicht gefordert darum meine Vermutung und auch dieser Threat Big Laugh


Zitat:
Mit der Aussage, den R² spannen sie nicht auf



Ja hab das mal so krass formuliert um auf eure Reaktionen zu warte. Hatte gestern oder vorgestern hier nen Threat auf wo es darum ging ob drei linear unabhängige Vektoren einen Unterraum der Dimension 3 aufspannen oder direkt den R³.

Hatte angenommen es wäre der R³ aber das schien nicht richtig darum hier nochmal diese krasse formulierung.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die 3 Vektoren l.u. sind und Elemente von R³, dann spannen sie ihn auch auf.
 
 
SilverBullet Auf diesen Beitrag antworten »

Hab mal den Threat rausgesucht, da mir die Sache noch nicht ganz klar ist.

Hier das Zitat von Sunwater :
Zitat:
naja, du weißt doch auch dass zwei Vektoren eine Ebene aufspannen... - aber nicht jede Ebene ist der R².

Mit 3 Vektoren bekommst du etwas, dass dem R³ schon sehr ähnlich ist, aber es kann im R^5 "schief" drin liegen...

hoffe du weißt was ich meine...

stell es dir einfach drei Dimensionen tiefer vor, dann ist es einfacher...

Nicht jede Gerade ( 1 dimensionaler Vektorraum ) ist gleich die x-Achse ( Menge der reellen Zahlen R ). Du kannst eine Gerade im Raum sonstwie reinlegen...

alles klar?



Threat zum Thema


Die Aussage von Sunwater ist ja das nicht jede Basis die einen 2-dimensionalen Raum aufspannt auch den R² aufspannt, das wäre mir klar wenn die Ebene im R³ liegt dann kann sie ja parallel zum R² liegen ?!

Aber bei einem 3-dimensionalen Raum weiß ich einfach nicht wie ich mir das nun vorstellen soll ?!?

Hast du eine Idee dazu ?



Edit :
Ahh Sekunde ich glaub ich kann mir einfach nur keine 5-dimensionen vorstellen *g*. Könnte ich das dann wäre die Sache genau so klar wie eine 2-dimensionale Ebene die nicht gleich dem R² ist.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich denke zunächst ist das ganze hier mal eine Definitionssache. Die Bücher schreiben nur allgemein:

für i = 1,...,n, wobei die 1 an der i-ten Stelle steht. Dann bilden eine Basis des , wobei K ein beliebiger Körper ist.

Daher nehme ich, dass "vereinbart wird", dass z.B. gilt. Was man auch intuitiv annehmen wurde, aber in meinen Unterlagen nicht ausformuliert ist.

Nehmen wir nun einmal den R³, den kannst Du ja noch zeichnen... Die bildet dann den R². Eine Parallele dazu kann jedoch kein Unterraum des R³ sein. Warum nicht? Na der Nullvektor wäre dann nicht drin Augenzwinkern
Buef Auf diesen Beitrag antworten »

zu der Aufgabe habe ich auch eine Frage!

Wie ist eine Basis definiert?

Zitat:
Der mathematische Begriff Basis bezeichnet in der linearen Algebra eine Teilmenge eines Vektorraumes, mit deren Hilfe sich jeder Vektor des Raumes eindeutig durch Koordinaten beschreiben lässt. Wenn Verwechslungen zu befürchten sind, nennt man eine solche Teilmenge auch Hamelbasis. Ein Vektorraum besitzt im allgemeinen verschiedene Basen und ein Wechsel der Basis erzwingt eine Koordinatentransformation.

wikipedia.de

leider kann ich damit nicht viel anfangen! Mir ist in etwa klar, was eine Basis ist, aber genaue Charakteristik ist mir doch unbekannt. Kann mir jemand das an dem oben beschrieben Beispiel sagen?
Red_Wraith Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Buef
Wie ist eine Basis definiert?


Eine salopp formulierte Definition von mir: Eine Basis eines bestimmten Unterraums ist eine Menge aus linear unabhängigen Vektoren, die den Unterraum erzeugen.

Eine Menge aus Vektoren ist also eine Basis eines Unterraums, wenn 2 Eigenschaften gelten:

1. Die Menge aus Vektoren ist linear unabhängig, das heißt, keiner der Vektoren aus der Menge lässt sich durch andere Vektoren der Menge linear kombinieren.

Bei 2 Vektoren (und NUR da) lässt sich das ganze so überprüfen (am Beispiel):
Wenn es kein gibt, die die Gleichung erfüllt, dann sind die beiden Vektoren linear unabhängig.

Zur allgemeinen Vorgehensweise bei der Überprüfung auf lineare Unabhängikeit findest du sicher etwas im Internet.

2. Die Menge aus Vektoren ist ein Erzeugendensystem des Unterraums, d.h. jeder mögliche Vektor des Unterraums, kann durch Linearkombination der Vektoren aus der Menge "zusammengebaut" werden. Man sagt auch, die Vektoren der Menge spannen den Raum auf.

Hierbei gilt: Eine Menge aus linear unabhängigen Vektoren kann nur eine Basis sein, wenn deren Anzahl der Dimension des Raumes entspricht, den sie erzeugen sollen. 2 Vektoren können also keinen erzeugen, sie können jedoch sehrwohl einen 2-dimensionalen Unterraum des erzeugen.
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