Lipschitz-Stetigkeit DGL-System

12.03.2012, 20:41

Annkk,

Lipschitz-Stetigkeit DGL-System

Meine Frage:
Hallo zusammen,

Ich habe einige Startschwierigkeiten bei einer Aufgabe zur Lipschitz-Stetigkeit für das folgende DGL-System:

y' = [-3 2 ; -2 -1]y + (t t^2)

Es soll gezeigt werden, ob eine Lipschitz-Stetigkeit vorliegt.

Meine Ideen:
Das Kriterium für die Lipschitz-Stetigkeit ist ja, dass ein reelles L existiert, sodass gilt:

|| f(x) - f(y) || <= L || x - y ||

Irgendwie steh ich jetzt aber auf dem Schlauch, wie kann ich diesen Ansatz für ein mehrdimensionales Problem anwenden ?

Ich bin für jeden Tipp dankbar und hoffe, dass mir jemand weiterhelfen kann!

13.03.2012, 10:49

annkk.

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Ist denn da draußen wirklich niemand, der mit weiterhelfen oder zumindest einen Tipp geben könnte ? Diese Aufgabe bringt mich irgendwie zum Verzweifeln... Wahrscheinlich ist sie gar nicht so schwer, aber ich komm einfach nicht auf einen Lösungsansatz...

Es wäre super, wenn sich vielleicht doch jemand finden würde, der mir weiterhelfen kann!

Liebe Grüße, Ann

13.03.2012, 11:50

Cel

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Hallo!

Natürlich gibt es hier Menschen, die dir hier helfen können. Zum Beispiel gibt es mich. Augenzwinkern

Aber wir sind nicht 24/7 online und deswegen braucht so eine Antwort manchmal ein bisschen Zeit. Denk bitte in Zukunft dran.

Die Lipschitz-Stetigkeit soll bzgl. y existent sein. Wir bezeichnen mal die Funktion rechts mit $\begin{eqnarray*} f : \mathbb{R} \times \mathbb{R}^2,~f(t,y) := \begin{pmatrix}-3 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \cdot y + \begin{pmatrix}t \\ t^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Dieses f erfüllt eine Lipschitz-Bedingung bzgl. y, also existiert ein L, so dass $\begin{eqnarray*} \|f(t,y) - f(t,z)\| \leq L \cdot \|y-z\| \end{eqnarray*}$ . Dabei sind $\begin{eqnarray*} y,z \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ .

Dann such mal das L.

13.03.2012, 16:01

Annkk,

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War gar nicht so gemeint :-) Vielen Dank für deine Antwort!!

Also wenn ich meine Funktion einfach mal in die Lipschitz-Bedingung einsetze erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} ||\begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} y -\begin{pmatrix} t \\ t^{2} \end{pmatrix} - \left[\begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} z -\begin{pmatrix} t \\ t^{2} \end{pmatrix}\right] || \leq L ||y-z|| \end{eqnarray*}$

Umformen nach L liefert mir:

$\begin{eqnarray*} ||\begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} y - \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} z || / ||y-z||\leq L \end{eqnarray*}$

Und wie geht es nun weiter ?? Wie kann ich jetzt L bestimmen ?

13.03.2012, 16:06

Cel

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Joa, das ist doch ein guter Anfang. Dividiere nicht durch die Norm.

Zitat:

Original von Annkk,
$\begin{eqnarray*} ||\begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} y - \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} z || \end{eqnarray*}$

Rechne diesen Ausdruck mal aus. Schreibe dazu $\begin{eqnarray*} y = (y_1,y_2)^T \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z = (z_1, z_2)^T \end{eqnarray*}$ . Mutlipliziere aus und fasse soweit wie möglich zusammen. Klammere insbesondere aus. Lasse die Normstriche so lang wie möglich stehen und nutze erst zum Schluss die Definition der euklidischen Norm.

13.03.2012, 16:30

Annkk,

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Meinst du so ?:

$\begin{eqnarray*} ||\begin{pmatrix} -3(y_1-z_1) + 2(y_2-z_2) \\ -2(y_1-z_1) - 1(y_2-z_2) \end{pmatrix}|| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sqrt{13(y_1-z_1)^{2}-10(y_1-z_1)(y_2-z_2)+(y_2-z_2)^{2} } \end{eqnarray*}$

Oder ist es geschickter anders auszuklammern ?

13.03.2012, 19:01

Cel

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Mit Sicherheit geht es auch so ... aber wohl schwierig. Ich seh's grad selbst nicht.

Habt ihr Matrixnormen behandelt (in irgendeiner Vorlesung?) Dann könnten wir die Verträglichkeit der euklidischen Norm mit der Spektralnorm (induzierten Norm) für Matrizen benutzen.

(Edit: Wow. 5000 Beiträge.)

13.03.2012, 21:25

Annkk,

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Ich hab grad nochmal in meinen Übungsunterlagen nachgeschaut, wir haben da was zur Matrixnorm aufgeschrieben, das ist aber irgendwie ziemlich wirr... Könntest du mir eventuell erklären wie ich die Lipschitz-Stetigkeit mithilfe der Matrixnorm nachweisen kann ?

14.03.2012, 11:44

Cel

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Na ja, die Herleitung der Spektralnorm ist schon etwas, das man sich mehrmals durchlesen muss, da stimme ich zu. Aber damit kommen wir schnell zum Ziel. Ist A eine Matrix, dann ist $\begin{eqnarray*} \|A\| \end{eqnarray*}$ (manchmal auch $\begin{eqnarray*} \|A\|_2 \end{eqnarray*}$ geschrieben) die Wurzel aus dem größten Eigenwert von $\begin{eqnarray*} A^T \cdot A \end{eqnarray*}$ . Es gilt (das ist die Verträglichkeit): $\begin{eqnarray*} \|A \cdot x \| \leq \|A\| \cdot \|x\| \end{eqnarray*}$ .

Kannst du da eine Bezug hierzu herstellen?

Zitat:

Original von Annkk,
$\begin{eqnarray*} ||\begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} y - \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} z || \end{eqnarray*}$

Geht eigentlich sehr schnell, du musst nur einen Zwischenschritt tun.

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