Mehrfache partielle Integration...Alternativen?

13.03.2012, 12:51

Helio20

Mehrfache partielle Integration...Alternativen?

Hallo,

ich versuche gerade ein Gefühl zu bekommen, wann die Substitution, wann partielle Integration sinnvoller ist, bzw. wo es manchmal reicht den Term einfach umzuschreiben.
Wie würdet ihr denn an dieses Integral herangehen?

$\begin{eqnarray*} \int_0^t \! sin^{4} x \, dx \end{eqnarray*}$

Vielen Dank euch!

13.03.2012, 12:59

fleurita

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RE: Mehrfache partielle Integration...Alternativen?
ich seh hier nichts wo man substituieren kann. Aber du kannst ja $\begin{eqnarray*} \int \! sin^{4} x \, dx \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \int \! sin^{4} x\cdot 1 \, dx \end{eqnarray*}$ schreiben und es dann mit der partiellen probieren.

13.03.2012, 13:02

Helio20

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RE: Mehrfache partielle Integration...Alternativen?

Zitat:

Original von fleurita
ich seh hier nichts wo man substituieren kann. Aber du kannst ja $\begin{eqnarray*} \int \! sin^{4} x \, dx \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \int \! sin^{4} x\cdot 1 \, dx \end{eqnarray*}$ schreiben und es dann mit der partiellen probieren.

Du hast Recht, in diesem Falle geht natürlich wirklich nichts zu substituieren.
Ab wann würdest du denn sagen ist eine Substitution sinnvoll?

$\begin{eqnarray*} (2x²+3)² \end{eqnarray*}$ Ausmultiplizieren oder substituieren?

$\begin{eqnarray*} (2x²+3)³ \end{eqnarray*}$ Wäre das hier eher was für die Substitution?

13.03.2012, 13:15

fleurita

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RE: Mehrfache partielle Integration...Alternativen?
im 1. fall würde ich echt ausmultiplizieren. Der 2. Term ist so grenzwertig, eig würd ich da eher auch nochmal ausmultiplizieren. Wenn der innere term linear ist es sowieso klar was man macht bei polynomen. smile

13.03.2012, 13:21

Mulder

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RE: Mehrfache partielle Integration...Alternativen?
Sinnvolle Substitutionsmöglichkeiten hat man da generell nicht, fleurita hat schon Recht mit dem Ausmultiplizieren.

Aber zu dem sin^4(x): Partielle Integration bringt da nicht viel, wo will man da hinkommen? Tipp:

$\begin{eqnarray*} \sin^4 x = \frac{1}{8}\ \Big(\cos (4x) - 4 \cos (2x) + 3 \Big) \end{eqnarray*}$

Das kann man nun lösen.

13.03.2012, 13:30

Helio20

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RE: Mehrfache partielle Integration...Alternativen?

Zitat:

Original von fleurita
im 1. fall würde ich echt ausmultiplizieren. Der 2. Term ist so grenzwertig, eig würd ich da eher auch nochmal ausmultiplizieren. Wenn der innere term linear ist es sowieso klar was man macht bei polynomen. smile

Wenn der innere Term linear ist, ist es klar?! smile

Klar, was zu tun?

13.03.2012, 13:31

Helio20

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RE: Mehrfache partielle Integration...Alternativen?

Zitat:

Original von Mulder
Sinnvolle Substitutionsmöglichkeiten hat man da generell nicht, fleurita hat schon Recht mit dem Ausmultiplizieren.

Aber zu dem sin^4(x): Partielle Integration bringt da nicht viel, wo will man da hinkommen? Tipp:

$\begin{eqnarray*} \sin^4 x = \frac{1}{8}\ \Big(\cos (4x) - 4 \cos (2x) + 3 \Big) \end{eqnarray*}$

Das kann man nun lösen.

Wie in etwa bist du denn nun da hin gekommen?

13.03.2012, 13:32

Mulder

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RE: Mehrfache partielle Integration...Alternativen?

Zitat:

Original von Helio20
Wie in etwa bist du denn nun da hin gekommen?

Nachschlagen in einer Formelsammlung. Selber herleiten ist schwierig und auswendig wissen kann man das auch nicht alles.

Eine Liste gibt's auch bei Wikipedia.

13.03.2012, 13:37

fleurita

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RE: Mehrfache partielle Integration...Alternativen?

Zitat:

Original von Helio20
Wenn der innere Term linear ist, ist es klar?! smile

Klar, was zu tun?

$\begin{eqnarray*} \int f(ax + b) \,\mathrm{d}x = \frac{1}{a}F(ax + b) + C \end{eqnarray*}$ smile

13.03.2012, 13:39

Helio20

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RE: Mehrfache partielle Integration...Alternativen?

Zitat:

Original von Mulder

Zitat:

Original von Helio20
Wie in etwa bist du denn nun da hin gekommen?

Nachschlagen in einer Formelsammlung. Selber herleiten ist schwierig und auswendig wissen kann man das auch nicht alles.

Eine Liste gibt's auch bei Wikipedia.

Achso, "Vokabeln" also smile

Hast du das aus $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! sin²(x) \, dx = \frac{1}{2}(x-sinxcosx) + C \end{eqnarray*}$ zusammengebaut?

13.03.2012, 13:41

Helio20

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RE: Mehrfache partielle Integration...Alternativen?

Zitat:

Original von fleurita

Zitat:

Original von Helio20
Wenn der innere Term linear ist, ist es klar?! smile

Klar, was zu tun?

$\begin{eqnarray*} \int f(ax + b) \,\mathrm{d}x = \frac{1}{a}F(ax + b) + C \end{eqnarray*}$ smile

Achso, integrieren und dann nachdifferenzieren, sprich mitm Kehrwert der Ableitung der Klammer multiplizieren?

13.03.2012, 13:43

fleurita

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RE: Mehrfache partielle Integration...Alternativen?
ja ich glaub ja, wenn du das meinst was ich denke smile

man kann sich das gut herleiten, wenn man ax+b substituiert.

13.03.2012, 14:08

Mulder

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RE: Mehrfache partielle Integration...Alternativen?

Zitat:

Original von Helio20
Hast du das aus $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! sin²(x) \, dx = \frac{1}{2}(x-sinxcosx) + C \end{eqnarray*}$ zusammengebaut?

Ich hab gar nichts zusammengebaut, ich hab's einfach hier geklaut, nicht mehr und nicht weniger.

13.03.2012, 14:12

Helio20

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RE: Mehrfache partielle Integration...Alternativen?

Zitat:

Original von Mulder

Zitat:

Original von Helio20
Hast du das aus $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! sin²(x) \, dx = \frac{1}{2}(x-sinxcosx) + C \end{eqnarray*}$ zusammengebaut?

Ich hab gar nichts zusammengebaut, ich hab's einfach hier geklaut, nicht mehr und nicht weniger.

Ok verstehe, es geht wirklich nicht einfacher als das was ich auch in meiner Lösung stehen habe. Wenn ich das nicht in der Formelsammlung stehen habe heisst dass also -> aufwendige und komplizierte Herleitung?

Was wäre denn der Ansatz dafür, wenn nicht partielle Integration?

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