Grenzwerte von Folgen

13.03.2012, 13:13

Lunali

Grenzwerte von Folgen

Meine Frage:
Entscheiden Sie, ob die Grenzwerte der Folgen $\begin{eqnarray*} (b_{n} ) n\geq 1, (c_{n} ) n\geq 1 und (d_{n} ) n\geq 1 \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} b_{n} = \frac{log (n)}{\sqrt{n} } , c_{n} = \frac{(log(n))^{10}}{\sqrt{n} }, d_{n} = \frac{log(1+e^{n} )}{n} \end{eqnarray*}$

existieren. Berechne sie gegebenenfalls.

Meine Ideen:
Ich weiß nicht wie ich am besten an die Aufgaben dran gehen soll. Ich hab zwar die Lösungen, aber die sind sehr schwammig und ich versteh sie nicht. Es wäre super wenn mir hierbei jemand helfen könnte smile

13.03.2012, 13:31

Nubler

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du betrachtest $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ ?
wenn ja, paar hinweise:
für die ersten beiden: bedenke, dass der ln langsamer wächst als jede beliebige potenzfunktion ab einen entsprechend großen n.
bei der dritten:
der reelle ln ist eine streng monoton steigende funktion.
überleg dir folgendes: $\begin{eqnarray*} e^{2n} \geq 1+e^n \end{eqnarray*}$ für hinreichend großes n und $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \to \infty}\frac{e^x+1}{e^x} =1 \end{eqnarray*}$

14.03.2012, 14:50

Lunali

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ja das der ln langsamer wächst hatte ich in meinen Lösungen auch stehen, aber ich weiß nicht, wie man sowas aufschreibt, dass es in der Klausur die volle Punktezahl gibt.

17.03.2012, 11:02

Lunali

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Kann mir dabei bitte jemand weiterhelfen?

19.03.2012, 09:09

klarsoweit

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RE: Grenzwerte von Folgen
Bei b_n und c_n würde ich $\begin{eqnarray*} n = e^m \end{eqnarray*}$ substituieren.

Bei d_n hilft die Abschätzung $\begin{eqnarray*} \frac{log(e^n)}{n} \leq \frac{log(1+e^n)}{n} \leq \frac{log(2e^n)}{n} \end{eqnarray*}$ . smile

20.03.2012, 21:48

Lunali

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$\begin{eqnarray*} \frac{log (e^{m} )}{\sqrt{e^{m} } } = \frac{m}{\sqrt{e^{m} } } <br /> <br /> \frac{(log(e^{m}))^{10}}{\sqrt{e^{m}} } =\frac{m^{10}}{\sqrt{e^{m} } } \end{eqnarray*}$

wie kann ich denn jetzt mit der b und c weiter machen?

bei der d versteh ich nicht wie man auf die beiden Brüche kommt. Klar, sind die kleiner bzw. größer als der Bruch aus der Aufgabe, aber was bringt mir das? Sind die beiden Brüche jeweils konvergent, wenn ja woher weiß ich das?

21.03.2012, 09:06

klarsoweit

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Zitat:

Original von Lunali
wie kann ich denn jetzt mit der b und c weiter machen?

Das kommt es darauf an, auf welche schon bekannten Eigenschaften der e-Funktion du zurückgreifen kann.

Für b beispielsweise, daß $\begin{eqnarray*} e^m > \frac 1 2 m^2 \end{eqnarray*}$ für m >= 0 ist.

Zitat:

Original von Lunali
bei der d versteh ich nicht wie man auf die beiden Brüche kommt. Klar, sind die kleiner bzw. größer als der Bruch aus der Aufgabe, aber was bringt mir das? Sind die beiden Brüche jeweils konvergent, wenn ja woher weiß ich das?

Du könntest ja mal die Zähler von den beiden Brüchen vereinfachen. Augenzwinkern

21.03.2012, 16:35

Lunali

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Bei der d:

$\begin{eqnarray*} 1=\frac{log (e^{n} )}{n} \leq \frac{log (1+e^{n} )}{n} \leq \frac{log (e^{n}+e^{n} )}{n} = \frac{log (2)}{n} +1 \end{eqnarray*}$

aber dann laufen die beiden Brüche doch nicht gegen den gleichen Grenzwert oder?

bei der b und c weiß ich leider nicht welche Eigenschaften du meinst? In meinen Lösungen steht drin, dass das auch mit Sandwich-Theorem geht nur leider nicht wie.

22.03.2012, 08:39

klarsoweit

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Zitat:

Original von Lunali
aber dann laufen die beiden Brüche doch nicht gegen den gleichen Grenzwert oder?

Wieso? Welche Grenzwerte hast du denn raus?

25.03.2012, 11:03

Lunali

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Ach so da kommt bei beiden der Grenzwert 1 raus und deswegen läuft das in der Mitte auch gegen 1?

25.03.2012, 14:12

klarsoweit