binomische Reihe - beweis

13.03.2012, 13:15	Kat1545	Auf diesen Beitrag antworten »
binomische Reihe - beweis Meine Frage: ich möchte die binomische reihe beweisen, verstehe es aber nicht ganz Meine Ideen: ich hab bei wikibooks den beweis gefunden. [attach]23500[/attach] kann mir jemand die letzten beiden zeilen erklären. was haben die natürlichen zahlen mit der linearfaktorzerlegung zu tun? und wie kommt man auf die linearfaktorzerlegung?
16.03.2012, 22:35	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: binomische Reihe - beweis Die Aussage, ein Polynom 3. Grades $\begin{eqnarray} P_3(x) \end{eqnarray}$ hat Nullstellen bei 0,1,2 ist ja gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray} P_3(x)=ax(x-1)(x-2) \end{eqnarray}$ (mit a als Koeffizient der höchsten Potenz) Nun kann die Reihenentwicklung für z.B. $\begin{eqnarray} f(x)= (x+1)^2 \end{eqnarray}$ , die ja mit der Funktion identisch wäre, kein Polynom 3. oder höheren Grades enthalten. Deshalb die vorletzte Zeile, die sagt, für diese quadratische Reihe müssen die Polynome 3. und höheren Grades null sein, also $\begin{eqnarray} Q_3(2)=0, Q_4(2)=0 \end{eqnarray}$ ,etc. Wenn man das auf alle ganzzahligen Exponenten ausweitet, gilt für den Fall, dass der Grad n des Polynoms $\begin{eqnarray} Q_n \end{eqnarray}$ höher ist als der Grad m des darzustellenden Polynoms $\begin{eqnarray} (1+z)^m \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Q_n(m)=0 \end{eqnarray}$ , so z.B: $\begin{eqnarray} Q_3(0)=0,Q_3(1)=0,Q_3(2)=0 \end{eqnarray}$ nun in Linearfaktoren entsprechend der Nullstellen: $\begin{eqnarray} Q_3(x)=ax(x-1)(x-2) \end{eqnarray}$ Wenn man nun x durch $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ sowie Leitkoeffizient a durch $\begin{eqnarray} \frac{1}{n!} \end{eqnarray}$ ersetzt, ergibt sich letzte Zeile.
18.03.2012, 21:23	unsichtbar	Auf diesen Beitrag antworten »
danke gilt das ganze denn auch für a aus R ? und wieso \|z\|<1 ?
18.03.2012, 23:27	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gilt natürlich auch für a aus R. Für den Beweis reicht aber a aus Q , weil a durch einen Bruch ersetzt wird. \|z\|<1 deshalb, weil die unendliche Reihe über Potenzen von z (3. Zeile) nicht konvergiert, wenn $\begin{eqnarray} z^n \end{eqnarray}$ nicht gegen null geht.

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