Suche den Punkt meines Graphen, der dem Koordinatenursprung am nächsten kommt,

13.03.2012, 12:56

Peeri

Suche den Punkt meines Graphen, der dem Koordinatenursprung am nächsten kommt,

Meine Frage:
Guten Tag, ich habe leider folgendes Problem
Die Aufgabe: Es wird dir Funktion f(x) = x²-3x+3 betrachtet. Gesucht ist derjenige Punkt R(x;y) des Graphen, der dem Ursprung 0;0 am nächsten liegt.
Bestimme diese kürzeste Entfernung e. Unter welchem Winkel schneidet die Gerade OR die Tangente im Punkt R?

Meine Ideen:
Leider habe ich gar keinen Ansatz unglücklich

Bisher habe ich Abgeleitet:
f´(x) = 2x-3

Könntet ihr mich einen Tipp geben, wie ich weiter machen könnte?

13.03.2012, 13:02

klarsoweit

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RE: Suche den Punkt meines Graphen, der dem Koordinatenursprung am nächsten kommt,
Joo, tolle Idee, einfach mal ohne Plan abgeleitet, kann ja nicht verkehrt sein. unglücklich

Wie wäre es, wenn du mal eine Funktion für den Abstand von f(x) zum Ursprung aufstellst?

Und das ganze scheint mir eher Schulmathe zu sein.

13.03.2012, 13:11

Peeri

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RE: Suche den Punkt meines Graphen, der dem Koordinatenursprung am nächsten kommt,
Danke für die schnelle und "motivierende" Antwort.

meine Überlegung war gerade, es wie eine Extremwertaufgabe anzusehen, daher die erste Ableitung. Dort wollen wir ein Minimum bekommen. Dort komme ich leider aber auch nicht weiter.

Ja etwas ins Blaue... aber was soll ich sonst tun, wenn ich keinen Ansatz habe ?

Wie wäre es, wenn du mal eine Funktion für den Abstand von f(x) zum Ursprung aufstellst?

Ja da scheitert es ja nun mal... da ich ja einen 2ten Punkt dafür brauche, welchen ich ermitteln soll.

13.03.2012, 13:19

brain man

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... zensiert, siehe: Prinzip "Mathe online verstehen!"

EDIT: klarsoweit

13.03.2012, 13:19

klarsoweit

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RE: Suche den Punkt meines Graphen, der dem Koordinatenursprung am nächsten kommt,
Ohne Probleme hast du 2 Punkte: den Ursprung und einen beliebigen Punkt auf dem Funktionsgraph.

Also ich schieb das dann mal in die Schulmathe.

13.03.2012, 13:25

Peeri

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RE: Suche den Punkt meines Graphen, der dem Koordinatenursprung am nächsten kommt,
Ich will doch gar keine Komplettlösung... sondern einen Tipp...

Danke brain man, auf den Pythagoras war ich nicht gekommen.
Was ja keine Komplettlösung ist, da ich damit auch noch nicht am Ziel bin.
Daher versteh ich diesen Zensurmist auch nicht, aber gut.

13.03.2012, 13:35

brain man

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Dann ist es "klarsoweit"? smile

13.03.2012, 13:41

klarsoweit

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RE: Suche den Punkt meines Graphen, der dem Koordinatenursprung am nächsten kommt,

Zitat:

Original von Peeri
Danke brain man, auf den Pythagoras war ich nicht gekommen.
Was ja keine Komplettlösung ist, da ich damit auch noch nicht am Ziel bin.
Daher versteh ich diesen Zensurmist auch nicht, aber gut.

Das mit dem Pythagoras war die eigentliche Denk- und Transferleistung. Alles andere geht nach Schema F. Deswegen die Zensur.

Übrigens kann man sich etwas Arbeit sparen, wenn man nicht die eigentliche Abstandsfunktion minimiert, sondern das Quadrat davon. Augenzwinkern

13.03.2012, 14:13

Peeri

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RE: Suche den Punkt meines Graphen, der dem Koordinatenursprung am nächsten kommt,
Jop alles klarsoweit ;=)

Mein vorgehen, nach dem Tipp mit dem Pythagoras.

$\begin{eqnarray*} c = \sqrt{a^{2} + b^{2} } \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} c = 2x + 2*f(x)*f´(x) \end{eqnarray*}$

Eingesetzt und gerechnet:

$\begin{eqnarray*} c = 4x³-18x²+32x-18 \end{eqnarray*}$

Das ganze gleichsetzen

$\begin{eqnarray*} c = f(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4x³-18x²+32x-18 = x²-3x+3 \end{eqnarray*}$

und umgestellt ergibt dies:

$\begin{eqnarray*} 4x³-19x²+35x-21 \end{eqnarray*}$

Das ganze Null gesetzt ergibt

$\begin{eqnarray*} Nx1 = 1,121856066 \end{eqnarray*}$

Nx2 und Nx3 gibt es nicht.

Nx1 in f(x) ergibt

$\begin{eqnarray*} Y = 0,8929928348 \end{eqnarray*}$

Der Punkt R liegt also bei (1,121856066;0,8929928348)

Der Winkel wird über $\begin{eqnarray*} Tan^{-1} (y/x) \end{eqnarray*}$ errechnet.

alpha = 38,52

den abstand e Zwischen P(0;0) und R(1,121856066;0,8929928348) errechne ich wieder über den pythagoras

$\begin{eqnarray*} e = \sqrt{x^{2} + y^{2} } \end{eqnarray*}$

Ergebnis: e = 1,433

Vielen Dank an brain man und klarsoweit!

13.03.2012, 14:35

Peeri

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Eine Frage habe ich noch.

Wir haben ja den Punkt (0;0) gegeben und für diesen die Funktion f(x) = x angenommen.
demnach hätte ich auch genau so gut mit f(x) = 0,5x arbeiten können oder ?
Da dieser auch durch den Punkt (0;0) geht.
Oder habe ich da doch etwas falsch verstanden?

13.03.2012, 14:45

klarsoweit

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RE: Suche den Punkt meines Graphen, der dem Koordinatenursprung am nächsten kommt,

Zitat:

Original von Peeri
Mein vorgehen, nach dem Tipp mit dem Pythagoras.

$\begin{eqnarray*} c = \sqrt{a^{2} + b^{2} } \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} c = 2x + 2*f(x)*f'(x) \end{eqnarray*}$

Eingesetzt und gerechnet:

$\begin{eqnarray*} c = 4x³-18x²+32x-18 \end{eqnarray*}$

Ehrlich gesagt kann ich nicht nachvollziehen, was du da gerechnet hast. Insgesamt muß man wirklich sagen, daß du das ganze noch nicht verstanden hast.

13.03.2012, 14:50

Peeri

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RE: Suche den Punkt meines Graphen, der dem Koordinatenursprung am nächsten kommt,
ich bearbeite es oben noch einmal, um es verständlicher zu machen.

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

13.03.2012, 14:55

klarsoweit

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Zitat:

Original von Peeri
Eine Frage habe ich noch.

Wir haben ja den Punkt (0;0) gegeben und für diesen die Funktion f(x) = x angenommen.

Nee, haben wir nicht. Wo wäre das denn gewesen?

13.03.2012, 15:01

Peeri

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ja, beim nachrechnen ergibt es auch nicht f(x) = x sondern f(x) = 0

sorry, davon ging ich einfach aus.

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

13.03.2012, 15:06

Peeri

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RE: Suche den Punkt meines Graphen, der dem Koordinatenursprung am nächsten kommt,

Zitat:

Original von Peeri
Jop alles klarsoweit ;=)

Mein vorgehen, nach dem Tipp mit dem Pythagoras.

$\begin{eqnarray*} c = \sqrt{a^{2} + b^{2} } \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} c = 2x + 2*f(x)*f´(x) \end{eqnarray*}$

Die aussage ist falsch.

So wäre es richtig:

Mein vorgehen, nach dem Tipp mit dem Pythagoras.

$\begin{eqnarray*} c = \sqrt{a^{2} + b^{2} } \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} c = \sqrt{f(x)^{2} + x^{2} } \end{eqnarray*}$

Um sich das ausrechnen zu ersparen, kann man Alternativ auch folgende Formel benutzen:

$\begin{eqnarray*} c = 2x + 2*f(x)*f'(x) \end{eqnarray*}$
(Diese stammte von unserem Lehrer)

und damit weiter rechnen.

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)

14.03.2012, 07:45

klarsoweit

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RE: Suche den Punkt meines Graphen, der dem Koordinatenursprung am nächsten kommt,

Zitat:

Original von Peeri
Daraus ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} c = \sqrt{f(x)^{2} + x^{2} } \end{eqnarray*}$

Um sich das ausrechnen zu ersparen, kann man Alternativ auch folgende Formel benutzen:

$\begin{eqnarray*} c = 2x + 2*f(x)*f'(x) \end{eqnarray*}$
(Diese stammte von unserem Lehrer)

Das entspricht im Prinzip dem Vorgehen, daß man das Quadrat des Abstandes betrachtet. Man sollte das aber formal aber auch deutlich beschreiben. Etwa so:

Es ist der Abstand der Funktion f(x) vom Ursprung $\begin{eqnarray*} d(x) := \sqrt{x^2 + (f(x))^2} \end{eqnarray*}$ .

Ich betrachte nun das Quadrat des Abstandes $\begin{eqnarray*} D(x) := (d(x))^2 = x^2 + (f(x))^2 \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} D'(x) = 2x + 2 \cdot f(x) \cdot f'(x) \end{eqnarray*}$ .

So wird ein Schuh draus und dann kann auch jeder verstehen, was gerechnet wird.

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