Eigenvektoren berechnen

13.03.2012, 14:12

bunga

Eigenvektoren berechnen

Hallo,
ich habe viel gesucht, aber keine klare Antwort auf meine Frage gefunden:

Und zwar fällt es mir schwer die Eigenvektoren zu berechnen. Gegeben sei die Matrize A=(-1 -3 -3; -2 -1 -2; 2 3 4). Zuerst werden die Eigenwerte berechnet, was kein Problem darstellt. Es kommen L1=2, L2=-1 und L3=1 raus.

So jetzt für z.B. L1 nutzt man den Ansatz (A-2I)v=0

(-3 -3 -3; -2 -3 -2; 2 3 2) bringt man mit dem Gauß auf die Treppenstufenform und es ergibt sich (-3 -3 -3; 0 -1 0; 0 0 0).

Der Eigenvektor heißt dann v3= µ(1; 0; -1).

Und jetzt verstehe ich halt nicht, wie man auf v3 kommt, kann mir das einer Schritt für Schritt erklären bitte?

13.03.2012, 14:17

Mazze

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Zitat:

Gegeben sei die Matrize

Der Singular von Matrizen ist Matrix. Eine Matrize findet Anwendung beim Plotten/Drucken.

Zitat:

Und jetzt verstehe ich halt nicht, wie man auf v3 kommt, kann mir das einer Schritt für Schritt erklären bitte?

Du musst dich erinnern, dass Du eigentlich Gleichungssysteme lößt. Nehmen wir an Du hast richtig gerechnet. Dann haben wir am ende

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3 & -3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}v = 0 \end{eqnarray*}$

In der letzten Zeile steht dann (nach Treppennormalform)

$\begin{eqnarray*} 0*v_3 = 0 \end{eqnarray*}$

Welche reellen Zahlen die man für $\begin{eqnarray*} v_3 \end{eqnarray*}$ einsetzt , erfüllen diese Gleichung?

13.03.2012, 17:55

bunga

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Zitat:

Original von Mazze

Zitat:

Gegeben sei die Matrize

Der Singular von Matrizen ist Matrix. Eine Matrize findet Anwendung beim Plotten/Drucken.

natürlich, ich weiß auch nicht, was mich da geritten hat. Peinlich, peinlich.

Zitat:

Welche reellen Zahlen die man für $\begin{eqnarray*} v_3 \end{eqnarray*}$ einsetzt , erfüllen diese Gleichung?

Naja, nur 0, weil alles andere ja nicht erfüllt ist.

14.03.2012, 08:51

klarsoweit

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Zitat:

Original von bunga

Zitat:

Welche reellen Zahlen die man für $\begin{eqnarray*} v_3 \end{eqnarray*}$ einsetzt , erfüllen diese Gleichung?

Naja, nur 0, weil alles andere ja nicht erfüllt ist.

Also mir fallen noch ein paar Zahlen für v_3 ein, die die Gleichung $\begin{eqnarray*} 0 \cdot v_3 = 0 \end{eqnarray*}$ erfüllen. Augenzwinkern

14.03.2012, 09:09

bunga

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Stimmt, das sind dann alle Zahlen, weil irgendwas mal 0 ergibt immer 0.

14.03.2012, 10:01

klarsoweit

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Nun gut. Abseits von dieser Frage, muß man sich erstmal überlegen, was bei $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3 & -3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}v = 0 \end{eqnarray*}$ die freie Variable ist. Das ist in der Tat v_3.

Bei $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}v = 0 \end{eqnarray*}$ wäre die freie Variable v_2 . Von daher weiß ich nicht so ganz, warum sich Mazze für die 3. Gleichung interessiert, die eh immer erfüllt ist.

Nun gut. Setze nun v_3 = 1 (oder auch -1) und bestimme dann die Lösungen für v_1 und v_2.

14.03.2012, 10:37

Mazze

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Zitat:

. Von daher weiß ich nicht so ganz, warum sich Mazze für die 3. Gleichung interessiert, die eh immer erfüllt ist.

Nun ja, ich hab nicht daran gedacht dass unklar ist was die freie Variable ist. Ich hab eher das Problem erwartet, welches sich auch oben gezeigt hat, also dass nicht klar ist, warum man bei 0*v_3 = 0 die Variable v_3 gleich 1 setzen darf. Wink

14.03.2012, 13:49

bunga

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Zitat:

Original von klarsoweit
Bei $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}v = 0 \end{eqnarray*}$ wäre die freie Variable v_2 . Von daher weiß ich nicht so ganz, warum sich Mazze für die 3. Gleichung interessiert, die eh immer erfüllt ist.

Ok, da stellt sich mir die Frage, warum du in der 2. Zeile die letzten beiden Spalten vertauscht hast?

Zitat:

Nun gut. Setze nun v_3 = 1 (oder auch -1) und bestimme dann die Lösungen für v_1 und v_2.

Also man muss doch das v in die Matrix reinmultiplizieren, dann steht doch da:

$\begin{eqnarray*} -3v_1 & -3v_2 & -3v_3 = 0 \\ 0v_1 & 0v_2 & -1v_3 = 0 \\ 0v_1 & 0v_2 & 0v_3 = 0 \end{eqnarray*}$

Und jetzt die Zeilen einfach auflösen und das Ergebnis ist v_2 = 1, und v_1 = -2.

Wenn ich jetzt die ganzen v's habe, wie erstell ich dann den Eigenvektor? Nach der Form $\begin{eqnarray*} Eigenvektor = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ? Aber dann würde es doch nicht mit der Lösung aus dem ersten Post übereinstimmen (die ist von der Musterlösung).

14.03.2012, 13:54

klarsoweit

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Zitat:

Original von bunga

Zitat:

Ok, da stellt sich mir die Frage, warum du in der 2. Zeile die letzten beiden Spalten vertauscht hast?

Das sollte nur ein Beispiel für eine Matrix sein, wo nicht v3, sondern v2 die freie Variable ist. Du mußt natürlich mit deiner Matrix rechnen. smile