Dreieck und Parabel |
| 13.03.2012, 14:48 | lord_snow | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Dreieck und Parabel Hallo, habe folgendes Problem... die mathe aufgabe lautet: Die Eckpunkte A(3/9) B(-2/4) und Cn von Dreiecken ABCn liegen auf der Parabel p mit der Gleichung y=x². Berechne die Koordinaten des Eckpunktes C0 und den Flächeninhalt des flächengrößten Dreiecks ABC0. Runde auf zwei Stellen nach dem Komma. Meine Ideen: Ich möchte jetzt nicht die Aufgabe gelöst haben, das wäre zwar schön aber ich will ja verstehen wie es funktioniert. Leider habe ich keinen Ansatz, wäre daher froh wenn mir einfach jemand einen Schubs in die richtige Richtung gibt 
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| 13.03.2012, 15:35 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Dreieck und Parabel
Du kannst Dir die Parabel vorstellen sowie die beiden gegebenen Punkte. Der dritte Punkt definiert nun das Dreieck. Wie berechnet sich dessen Fläche grundsätzlich? Was muß also maximal werden? Viele Grüße Steffen |
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| 13.03.2012, 16:47 | lord_snow | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, die Fläche des Dreiecks berechnet sich aus A=1/2*g*h Ich denke ich müsste also die Länge g bestimmen und dann den höchsten wert für h bestimmen. Also berechne ich die Länge von g indem ich als Grundseite AB bestimme. A(3/9); B(-2/4) xA=3; xB=-2 yA=9; yB=4 a=xA-xB=3-(-2)=5 b=yA-yB=9-4=5 c²=a²+b² C²=25+25 c²=50 /squrt (50) c=7,07 AB=7,07cm aber wie berechne ich jetzt den höchsten wert für h, ich muss ja berücksichtigen dass er auf p verläuft. Muss ich ein Gleichungssystem aufstellen? |
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| 13.03.2012, 16:56 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie hat mein Mathelehrer gesagt: Mathematiker sind furchtbar faul. Die Länge g ist konstant, es reicht also, h zu maximieren. Kriegst aber einen Fleißpunkt. 
Die Strecke h hat einen Endpunkt auf AB und einen anderen auf der Parabel. Beide kannst Du über die x-Koordinate ausdrücken. Dann noch einmal den schon geübten Pythagoras. EDIT: Ich sehe gerade, daß es noch einfacher geht. Die Strecke h ist aufgrund des Strahlensatzes proportional zum vertikalen Abstand zwischen AB und der Parabel an der jeweiligen x-Stelle. Viele Grüße Steffen |
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| 15.03.2012, 00:01 | lord_snow | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Tut mir leid, seit gestern rechne ich rum und werde nur immer noch verrückter und verwirrter. Kannst Du mir den Lösungsweg aufzeigen, vielleicht kapiere ich dann das Prinzip? Ich bereite mich gerade auf die externe mittlere Reife Mathe II vor, möglichst im Rahmen des hierfür notwendigen Grundwissens, wäre es optimal. Ich verspreche zu lernen und mich zu bessern
Grüße |
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| 15.03.2012, 09:11 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Schau's Dir mal an: Die Strecke AB ist Teil einer Geraden, deren Gleichung recht einfach zu ermitteln ist. Man kann geometrisch zeigen, daß h an der Stelle x0 am größten ist, wo der senkrechte Abstand der Parabel und dieser Geraden am größten ist. Somit vereinfacht sich das Ganze auf die Maximumsuche der Differenzfunktion. Viele Grüße Steffen |
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| 15.03.2012, 12:53 | lord_snow | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ok, ich ermittle also die geradengleichung: y=m*x+b zuerst m mittles Punktsteigungsformel: m = (y2-y1)/(x2-x1) m= (4-9)/(-2-3) m= -5/-5 m=1 ich ermittle b: y=m*x+b b=y-m*x b=9-1*3 b=6 also lautet die geradengleichung: y=1*x+6 und die der parabel: y=x² ->x+6-x² (ist das dann jetzt die Differenzfunktion?) PS: ich soll alles berechnen, ich darf also schätze ich mal nichts aus der Zeichnung entnehmen ohne es vorher zu beweisen oder? |
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| 15.03.2012, 13:38 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja. Davon brauchen wir das Maximum. Vielleicht geht's aber sogar noch einfacher. Wenn Du Dir die zwei Graphen anschaust und jeweils von der Gerade eine Senkrechte Richtung Parabel errichtest, ist das ja die jeweilige Höhe h. Diese ist offenbar dann am größten, wenn sie senkrecht auf die Parabel trifft. (Beweis kann ich hier leider nicht liefern, auch für den anderen Ansatz nicht.) Das heißt, an der Stelle x0, bei der die Parabel dieselbe Steigung wie die Gerade hat, ist h maximal. Viele Grüße Steffen |
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| 17.03.2012, 11:43 | lord_snow | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
um den extremwert zu berechnen würde ich jetzt die gleichung auf die form: x²+px+q bringen um die pq-formel anzuwenden. Mit den Koordinaten der Extrempunkte würde ich dann den maximalen Flächeninhalt bestimmen und daraus die Höhe. nach dem umformen komme ich aber auf: -x²+1x+6 wo liegt der Fehler bzw. ist das überhaupt die richtige Vorgehensweise? |
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| 18.03.2012, 00:00 | lord_snow | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
sorry ich sehe gerade dass ich auch mit der allgemeinen form arbeiten kann... |
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| 18.03.2012, 00:17 | lord_snow | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ok nochmal sorry
ich werde mich erst in Ableitungen einarbeiten müssen. Mit der pq-Formel in der allgemeinen Form habe ich ja nur die Koordinaten der Punkte A und B bestimmt. Immerhin weiß ich das der Rest schonmal gestimmt hat. Bis dahin und danke für die Geduld... Ganz viele Grüße Florian |
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