stereographische Projektion der reelen Zahlengerade

13.03.2012, 14:55

Gast11022013

stereographische Projektion der reelen Zahlengerade

Meine Frage:
Hallo, ich habe mal eine Frage zur stereographischen Projektion bzgl. der reellen Zahlengerade.

Wenn man sich die reelle Zahlengerade vorstellt und darauf aufliegend einen Kreis malt, sich den Nordpol anschaut, wird jeder Punkt auf der reellen Zahlengerade ja dann mit dem Nordpol verbunden. Nur der Nordpol wird nicht auf die Zahlengerade projiziert, richtig?

Wieso entspricht dann die Einpunktkompaktifizierung der reellen Zahlen der Struktur eines Kreises?

Meine Ideen:
Also die reelle Zahlengerade ist lokalkompakt, nicht kompakt.

Sei $\begin{eqnarray*} X=\mathbb R \end{eqnarray*}$ . Dann nimmt man doch jetzt einen Punkt hinzu, also $\begin{eqnarray*} X'=X\cup\left\{\omega\right\} \end{eqnarray*}$ und dies ist dann ein kompakter Raum, wobei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ Unterraum davon ist.

Was hat nun die stereographische Projektion (ich nenne sie mal s) mit alldem zu tun?

Tut sie Folgendes:

$\begin{eqnarray*} s\colon \mathbb R\cup\left\{\omega\right\}\to S^{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a\mapsto\begin{cases} a, & a\in\mathbb R\\ \omega, & a=\omega \end{cases} \end{eqnarray*}$

?

13.03.2012, 18:31

tmo

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Wenn du die stereographische Projektion nimmst, so hast du ja eine Abbildung, die jeden Punkt der $\begin{eqnarray*} S^1 \end{eqnarray*}$ außer dem Nordpol auf eine reelle Zahl abbildet und dabei wird jede reelle Zahl genau einmal getroffen. In der Tat ist es sogar ein Homöomorphismus.

Nur der Nordpol kriegt keine reelle Zahl. In der Einpunktkompaktifizierung ist dann noch ein Punkt "mehr" bei den reellen Zahlen dabei, die Idee ist natürlich den Nordpol darauf abzubilden.

Und in der Tat kriegt man dann wieder einen Homömorphismus.

Man kann sich das vielleicht so vorstellen.

Haben wir in der Einpunktkompaktifizierung $\begin{eqnarray*} X = \mathbb R \cup \{ \omega \} \end{eqnarray*}$ eine offene Menge $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \omega \in O \end{eqnarray*}$ , so ist das Komplement per Definition kompakt in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , d.h. es gibt eine Zahl $\begin{eqnarray*} R > 0 \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} (-\infty,-R) \cup (R,\infty) \subset O \end{eqnarray*}$

Das bedeutet aber nun: In jeder Umgebung um $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ sind ganz große und ganz kleine Zahlen enthalten.

Anschaulich gesehen bedeutet das einfach nur, dass die ganz großen und ganz kleinen Zahlen (die vorher unglaublich weit weg voneinander waren) nun sehr nah beieinander sind. Das kann man sich dann so vorstellen, dass die Zahlengerade zu einem Kreis gebogen wurde. Daher die Struktur eines Kreises.

13.03.2012, 19:20

Gast11022013

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Zitat:

Original von tmo
Haben wir in der Einpunktkompaktifizierung $\begin{eqnarray*} X = \mathbb R \cup \{ \omega \} \end{eqnarray*}$ eine offene Menge $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \omega \in O \end{eqnarray*}$ , so ist das Komplement per Definition kompakt in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , d.h. es gibt eine Zahl $\begin{eqnarray*} R > 0 \end{eqnarray*}$ mit

Danke für die Erklärung.

Der zitierte Teil ist mir allerdings noch unklar.

Die Topologie $\begin{eqnarray*} \mathcal{D} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} X'=\mathbb R\cup\left\{\omega\right\} \end{eqnarray*}$ ist doch

$\begin{eqnarray*} \mathcal{D}=\left\{O\subseteq X~|~O~\text{offen in X}\right\}\cup\left\{X\setminus U~|~U~\text{abgeschlossen und kompakt in X}\right\} \end{eqnarray*}$ .

Wieso ist jetzt $\begin{eqnarray*} \omega\in V \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} V\in\mathcal{D} \end{eqnarray*}$ und warum ist das Komplement kompakt in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?

13.03.2012, 19:30

tmo

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Ich sage ja nicht, dass in jeder offenen Menge $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ drin ist.
Ich sage nur, dass wenn wir eine offene Menge haben, in der $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ drin ist, dann ist das Komplement kompakt in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Und das ist doch Definition.

13.03.2012, 19:40

Gast11022013

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Achso, sei $\begin{eqnarray*} \omega\in D \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} D\in\mathcal{D} \end{eqnarray*}$ .

Dann ist das Komplement, also $\begin{eqnarray*} X'\setminus D \end{eqnarray*}$ , abgeschlossen in $\begin{eqnarray*} X' \end{eqnarray*}$ und damit auch abgeschlossen in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ .

Da X lokalkompakt ist, also insbesondere Hausdorffsch, ist $\begin{eqnarray*} X'\setminus D \end{eqnarray*}$ kompakt, da in einem Hausdorff-Raum jede abgeschlossene Menge kompakt ist.

So?

13.03.2012, 19:51

tmo

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Was machst du denn da? Jede abgeschlossene Menge komapkt? Das ist Unsinn.

Schau dir doch nochmal die Definition an. Demnach gliedern sich die offenen Mengen in der Einpunktkompaktifizierung $\begin{eqnarray*} X = \mathbb R \cup \{\omega\} \end{eqnarray*}$ in 2 Kategorien (zu erkennen an der Vereinigung)

1. die Mengen, die schon in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ offen sind.

Jede Menge, die $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ enthält, fällt doch aus dieser Kategorie automatisch raus.

Also kann eine Menge $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ enthält nur noch aufrung der 2. Kategorie offen sein, die da lautet:

$\begin{eqnarray*} O=X\setminus U \end{eqnarray*}$ für ein U, das kompakt in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist. Es ist aber dann $\begin{eqnarray*} U = X \setminus O \end{eqnarray*}$

13.03.2012, 19:57

Gast11022013

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Zitat:

Original von tmo

$\begin{eqnarray*} O=X\setminus U \end{eqnarray*}$ für ein U, das kompakt in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist. Es ist aber dann $\begin{eqnarray*} U = X \setminus O \end{eqnarray*}$

Momentan verstehe ich das nicht.

Aber vielleicht später.

13.03.2012, 20:07

Gast11022013

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Okay, verstanden.

Wieso folgt jetzt das mit dem R>0?

Wenn Du das nochmal erklären könntest...

Edit:

Also $\begin{eqnarray*} U=X\setminus O \end{eqnarray*}$ kompakt, das heißt

$\begin{eqnarray*} U\subseteq \bigcup_{i\in I}O_i. \vert I\vert<\infty \end{eqnarray*}$

Und damit $\begin{eqnarray*} O=X\setminus \bigcup_{i\in I}O_i \end{eqnarray*}$ .

O ist also die Reellen Zahlen ohne eine gewisse endliche Überdeckung.

Deswegen $\begin{eqnarray*} (-\infty,R)\cup (R,\infty)\subseteq O \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} R>0 \end{eqnarray*}$

13.03.2012, 20:21

tmo

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Jede kompakte Menge in einem metrischen Raum ist doch beschränkt.

D.h. das Komplement von O ist durch eine Zahl R beschränkt, d.h. alle Zahlen, die vom Betrag größer als R sind, liegen nicht im Komplement. Folglich liegen sie in O.

13.03.2012, 20:28

Gast11022013

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Ist "meine Erklärung" in meinem letzten Post auch okay?

13.03.2012, 20:34

tmo

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Eine "gewisse" endliche Überdeckung kann ja trotzdem unbeschränkt sein. Wenn dann musst du schon eine geeignete Überdeckung nehmen, z.b. $\begin{eqnarray*} \bigcup_{n\in \mathbb N}U_n(0) \end{eqnarray*}$

13.03.2012, 21:38

Gast11022013

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Achso, Du meinst, U könnte in einer endlichen Überdeckung liegen, aber dennoch unbeschränkt, etwa $\begin{eqnarray*} U\subseteq (S,\infty), S>0 \end{eqnarray*}$ .

Weil U aber kompakt ist, muss es beschränkt sein (und abgeschlossen, aber abgeschlossen ist es sowieso, da es das Komplement einer offenen Menge ist):

Also zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} U\subseteq B(0,R) \end{eqnarray*}$ , wenn das die größte der Kugeln um den Nullpunkt ist, in der U enthalten ist.

Und dann wäre halt $\begin{eqnarray*} (-\infty,-R)\cup (R,\infty)\subseteq O \end{eqnarray*}$

---Ich hoffe, jetzt stimmts.----

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