Schwerpunkt

13.03.2012, 16:31

Jo49

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Schwerpunkt

Hallo,

versteh nicht was ich bei folgender Aufgabe machen soll.

Aufgabe:

Wo liegt der Schwerpunkt eines Viertelkreises mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius R ?

Für mich steht die Lösung schon in der Aufgabe Schwerpunkt ist bei $\begin{eqnarray*} P_1(0/0) \end{eqnarray*}$

In der Lösung steht : $\begin{eqnarray*} (xs.ys)=(\frac{4}{3\pi}R,\frac{4}{3\pi}R) \end{eqnarray*}$

13.03.2012, 17:08

thk

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Hallo,

der Kreismittelpunkt (hier der K.-Ursprung) wäre dann der Schwerpunkt, wenn es sich um einen Volkreis handeln würde. Tatsächlich geht es in der Aufgabe ja um einen Viertelkreis. Mache dir doch mal eine Skizze.

13.03.2012, 17:58

Jo49

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Links so wie ich es mir vorgestellt habe.

Rechts so wie nach deiner Beschreibung.

Ich verstehs nur nicht :S, weil in der Frage steht:
"Schwerpunkt eines Viertelkreises mit Mittelpunkt im Ursprung"

Versteh das ganze nur so weit das der Schwerpunkt des Viertelkreises im Ursprung liegt.

Es wird die ganze Zeit vom Viertelkreis gesprochen jedoch nicht vom Vollkreis.

Aber wird wohl so sein wie du gesagt hast sonst macht die Aufgabe keinen Sinn.

13.03.2012, 18:20

thk

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Jepp das rechte Bild wird wohl gemeint sein. "Mittelpunkt" sowie "Radius" beziehen sich beide auf den Volkreis.

Der Mittelpunkt des Viertelkreises ist ja nicht bestimmt. Das würde die Aufgabe schier unlösbar machen.

14.03.2012, 02:43

Jo49

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ok.

Wie löse ich nun die Aufgabe ?

Habe da so meine Probleme.

Ideen:

1)Funktion für Halbkreis Aufstellen. Scheitelpunkt bestimmen.

2) Diese Formel anwenden: $\begin{eqnarray*} xs=\frac{1}{A}*\int_{\varphi_1}^{\varphi_2} \int_{r_i(\varphi)}^{r_a(\varphi)} r^2*\cos(\varphi)drd\varphi \end{eqnarray*}$

Da steht noch dabei: Formel für Schwerpunkt einer homogenen Fläche.
Was mit homogen gemeint ist versteh ich momentan nicht. Kenne das nur bei Lgs. und sagt mir bei Flächen gerade nichts.

14.03.2012, 11:21

riwe

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möglicherweise auch einfach so:

$\begin{eqnarray*} x_S=\frac{1}{A}\int_0^r \! x\cdot y \, dx \end{eqnarray*}$

und mit einer sehr ähnlichen formel für die y-koordinate

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15.03.2012, 10:12

thk

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Zitat:

Original von riwe
möglicherweise auch einfach so:

$\begin{eqnarray*} x_S=\frac{1}{A}\int_0^r \! x\cdot y \, dx \end{eqnarray*}$

und mit einer sehr ähnlichen formel für die y-koordinate

Mit $\begin{eqnarray*} y=\sqrt{R^2-x^2} \end{eqnarray*}$ lässt sich auch ohne Subst. eine Stammfunktion finden und mit dieser erhält man auch die vorgeg. Lösung.

S liegt natürlich etwas weiter oben als im Bild

Falls jemand eine elegante Lösung in Polarkoord. parat hat würde die mich mal interessieren.

15.03.2012, 11:40

riwe

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der punkt S liegt genau dort, wo er im bild liegt.
wie denkst du denn, dass ich die werte von S berechnet habe verwirrt

verwirrt

oder anders, wozu habe ich diese formel angegeben verwirrt

verwirrt

du könntest ja dein offensichtlich anderes ergebnis hier reinmalen unglücklich

unglücklich

15.03.2012, 22:50

thk

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(1)
Im Bild liegt S scheinbar auf der Verbindungsgeraden der markierten Achsenschnittpunkte des Kreises. Das wäre bei R/2 im Widerspruch zur korrekten Lösung, die gut 0,6R ergibt. Diesen Verdacht wollte ich ausschließen. Rein anschaulich kann das auch nicht sein.

(2)

Zitat:

Original von riwe
möglicherweise auch einfach so:

$\begin{eqnarray*} x_S=\frac{1}{A}\int_0^r \! x\cdot y \, dx \end{eqnarray*}$

und mit einer sehr ähnlichen formel für die y-koordinate

Mir hat sich der Ausdruck "sehr ähnlich" im Kontext zu Jo49's Formeln nicht erschlossen, bin aber gern bereit die Ursache bei mir zu sehen smile

smile

(3)
Eigentliches Anliegen bestand im letzten Satz.

15.03.2012, 22:54

jo49

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Habs mal versucht.

Wo hast du die Formel her ich finde die nicht in meiner Formelsammlung unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} x_S=\frac{1}{A}\int_0^r \! x\cdot y \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=\frac{\pi*r^2}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_S=\frac{1}{\frac{\pi*r^2}{4} }\int_0^r \! x\cdot y \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_S=\frac{4}{\pi*r^2} \int_0^r \! x\cdot y \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_S=\frac{4}{\pi*r^2} \int_0^r \! x\cdot y \, dx\equiv x_S=\frac{4}{\pi*r^2} \int_0^r \! x^2 \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_S=\frac{4}{\pi*r^2} \int_0^r \! x^2 \, dx=\frac{4}{\pi*r^2}*[\frac{1}{3}*x^3] \end{eqnarray*}$ in den Grenzen 0 bis r

$\begin{eqnarray*} x_S=\frac{4}{\pi*r^2}*\frac{1}{3}r^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_S=\frac{4r}{3\pi} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} y_S \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_S=\frac{1}{A}\int_0^r \! x\cdot y \, dy \end{eqnarray*}$

Aber ist bestimmt falsch da es eigentlich genau die gleiche Formel ist.

15.03.2012, 23:37

riwe

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Zitat:

Original von thk
(1)
Im Bild liegt S scheinbar auf der Verbindungsgeraden der markierten Achsenschnittpunkte des Kreises. Das wäre bei R/2 im Widerspruch zur korrekten Lösung, die gut 0,6R ergibt. Diesen Verdacht wollte ich ausschließen. Rein anschaulich kann das auch nicht sein.

was immer "markierte achsenschnittpunkte" sein sollen.

die korrekte lösung steht unten und ist weit von 0,6r entfernt unglücklich

unglücklich

Zitat:

(2)

Zitat:

Original von riwe
möglicherweise auch einfach so:

$\begin{eqnarray*} x_S=\frac{1}{A}\int_0^r \! x\cdot y \, dx \end{eqnarray*}$

und mit einer sehr ähnlichen formel für die y-koordinate

Mir hat sich der Ausdruck "sehr ähnlich" im Kontext zu Jo49's Formeln nicht erschlossen, bin aber gern bereit die Ursache bei mir zu sehen smile

smile

dieses erschließt sich mir nicht verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von jo49
Habs mal versucht.

Wo hast du die Formel her ich finde die nicht in meiner Formelsammlung unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} x_S=\frac{4r}{3\pi} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} y_S \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_S=\frac{1}{A}\int_0^r \! x\cdot y \, dy \end{eqnarray*}$

Aber ist bestimmt falsch da es eigentlich genau die gleiche Formel ist.

diese formel findet man, wenn man "richtig" kombiniert, z.b. im bronstein Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} x_S \end{eqnarray*}$ ist korrekt und so im bilderl dargestellt Augenzwinkern

Augenzwinkern

die analoge formel lautet

$\begin{eqnarray*} y_S=\frac{1}{2A}\int_0^r \! y ^2\, dx \end{eqnarray*}$

was erfreulicherweise für die y-koordinate denselben wert wie für die x-koordinate liefert,
wie aus symmetriegründen nicht anders zu erwarten ist.

ein bilderl aus den mathematischen basteleien scheint mir recht zu geben Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.03.2012, 00:49

Jo49

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Danke hat mir geholfen smile

smile

16.03.2012, 08:32

thk

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@riwe

"was immer "markierte achsenschnittpunkte" sein sollen."

Die Schnitte des Kreises mit den Achsen (die du in deiner Zeichnung mit Punkten nachgezeichnet hast).
Allerdings hatte ich irrig noch mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ mult. und kam daher fälschlich auf 0,6r
Dein Punkt S liegt damit natürlich richtig Gott

Gott

Hab den Ironiefaktor in "möglicherweise auch einfach so:" zu spät bemerkt, sorry.

16.03.2012, 09:15

riwe

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Zitat:

Original von thk
@riwe

Dein Punkt S liegt damit natürlich richtig Gott

Gott

na, dann können wir ja alle wieder ruhig schlafen Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.03.2012, 21:51

Dopap

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mmh, irgendwie scheint im Thread die ursprüngliche Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} x_s=\frac {\int_0^R x \sqrt{R^2-x^2} \, \dd x}{\int_0^R \sqrt{R^2-x^2}\, \dd x} \end{eqnarray*}$

"untergegangen" zu sein.

16.03.2012, 22:41

riwe

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Zitat:

Original von Dopap
mmh, irgendwie scheint im Thread die ursprüngliche Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} x_s=\frac {\int_0^R x \sqrt{R^2-x^2} \, \dd x}{\int_0^R \sqrt{R^2-x^2}\, \dd x} \end{eqnarray*}$

"untergegangen" zu sein.

da solltest du eventuell genauer lesen unglücklich

unglücklich

so wurde das problem von thk und mir gelöst.

aber du hast natürlich recht: wie ich nun erst sehe, hat joe49 müll gerechnet.
das ergebnis paßt nur deshalb, weil S symmetrisch bezüglich x und y liegt.
er/sie hat sozusagen die y-koordinate berechnet.
wie man sieht, ist es manchmal von vorteil, wenn man nicht integrieren kann

01.01.2013, 20:22

Matze84

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ich möchte das Thema gern nochmal aufgreifen....
Folgende Formeln habe ich gefunden/benutzt.
$\begin{eqnarray*} x_{s}=\frac{1}{A}\cdot \int_0^R \! x\cdot (\sqrt{R^2-x^2} ) \, dx \end{eqnarray*}$
nach Integration: $\begin{eqnarray*} x_{s}=\frac{1}{A}\cdot \left[-\frac{1}{3}\cdot \sqrt{(R^2-x^2)^3}\right]_{0}^{R} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_{s}=\frac{1}{2\cdot A}\cdot \int_0^R \! (\sqrt{R^2-x^2} )^2 \, dx \end{eqnarray*}$
Als Ergebnis habe ich einmal:
$\begin{eqnarray*} x_{s} = \frac{4\cdot R} {3\cdot \pi } \end{eqnarray*}$
was auch mit dem Punkt in der Zeichnung übereinstimmt...
Klar weiß man auf Grund von Symmetrie muss dann $\begin{eqnarray*} y_{s} \end{eqnarray*}$ den gleichen Wert haben. trotzdem würde ich es gern der Übung halber mal ausgerechnet haben.
da bei $\begin{eqnarray*} y_{s}=\frac{1}{2\cdot A}\cdot \int_0^R \! (\sqrt{R^2-x^2} )^2 \, dx \end{eqnarray*}$ sich das Quadrat mit der Wurzel aufhebt, könnte man ja auch schreiben...
$\begin{eqnarray*} y_{s}=\frac{1}{2\cdot A}\cdot \int_0^R \! (R^2-x^2) \, dx \end{eqnarray*}$

Jetzt kommt mein Problem...
Offensichtlich stelle ich mich zu dusselig an, das zu integrieren, weil ich auf ein "falsches" Ergebnis von 1,69 oder so komme....

Ich schreibe einfach mal die nächste Zeile meiner Rechnung auf, vielleicht findet ihr ja den Fehler.

$\begin{eqnarray*} y_{s}=\frac{1}{2\cdot A}\cdot \left[R^{2}\cdot x-\frac{1}{3}\cdot x^3\right]_{0}^{R} \end{eqnarray*}$
Sollte irgendetwas unklar sein oder gar fehlen, lasst es mich bitte bitte wissen.
Danke

01.01.2013, 22:05

Dopap

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Zitat:

Original von Matze84

$\begin{eqnarray*} y_{s}=\frac{1}{2\cdot A}\cdot \left[R^{2}\cdot x-\frac{1}{3}\cdot x^3\right]_{0}^{R} \end{eqnarray*}$
Sollte irgendetwas unklar sein oder gar fehlen, lasst es mich bitte bitte wissen.
Danke

ich sehe keinen Fehler, das Ergebnis ist wiederum $\begin{eqnarray*} \frac {4R}{3\pi} \end{eqnarray*}$

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