Existiert der Erwartungswert?

13.03.2012, 19:19

Dasiggo

Existiert der Erwartungswert?

Hallo,

ich habe die Aufgabe herauszufinden ob ein Erwartungswert für eine Dichtefunktion existiert.

Intervall: $\begin{eqnarray*} [\infty, - \infty] \end{eqnarray*}$

Dichtefunktion: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi \cdot \left(x^{2} +1\right)} \end{eqnarray*}$

Die Verteilungsfunktion: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\cdot arctan(x) \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich errechnet das: (das untere $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ist eigentlich $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ , Ich habe das mit dem Minus irgendwie nicht hingekriegt. )

$\begin{eqnarray*} EX= \int_\infty^ \infty \! x \cdot f(x) \, dx = \frac{1}{2\pi} \int_\infty^ \infty \! \frac{x}{x^2+1} \, dx = \frac{1}{2\pi}ln| x^2+1 | \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{1}{2\pi}ln| x^2+1 | - \left(\lim_{x \to -\infty } \frac{1}{2\pi}ln| x^2+1 |\right) = \infty - (\infty ) \end{eqnarray*}$

Soweit die Rechnung richtig ist, heißt es das der Erwartungswert nicht existiert weil nach der Voraussetzung in meinem Heft $\begin{eqnarray*} EX=\int_\infty^ \infty \! x \cdot f(x) \, dx < \infty \end{eqnarray*}$ die Integration der Dichtefunktion keinen bestimmten Wert liefert bzw. ein Unendlich oder weil $\begin{eqnarray*} \infty - (\infty ) \end{eqnarray*}$ nicht definiert ist oder beides?

13.03.2012, 20:02

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Erwartungswert existiert nur dann, wenn $\begin{eqnarray*} \int\limits_{-\infty}^{\infty} |x| \cdot f(x) ~ \dd x < \infty \end{eqnarray*}$ gilt.

Was für deine Verteilung nicht der Fall ist, insofern hast du mit deiner Schlussfolgerung recht - auch wenn deine bisherige Begründung auf wackligen Beinen steht. Augenzwinkern

13.03.2012, 21:03

Dasiggo

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie würdest du das begründen?

13.03.2012, 21:47

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, das steht doch da:

Zitat:

Original von HAL 9000
Der Erwartungswert existiert nur dann, wenn $\begin{eqnarray*} \int\limits_{-\infty}^{\infty} |x| \cdot f(x) ~ \dd x < \infty \end{eqnarray*}$ gilt.

Dazu äquivalent ist übrigens, dass die beiden Teilintegrale

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{\infty} x \cdot f(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-\infty}^0 x \cdot f(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$

endlich sind. Sobald also (mindestens) eins der beiden nicht endlich ist, hat man die Nichtexistenz des Erwartungswertes bewiesen.

So geht es seriös, man muss also nicht mit Sachen wie $\begin{eqnarray*} \infty-\infty \end{eqnarray*}$ sich unnötig in schwammiges Begründungsgelände begeben. Augenzwinkern

13.03.2012, 22:05

Dasiggo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, ok. Man muss es nur richtig ausdrücken.

Danke!

Neue Frage »

Antworten »

Existiert der Erwartungswert?

Verwandte Themen