Brüche gleichnamig machen

13.03.2012, 23:55

ElaMiNaTo

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Brüche gleichnamig machen

Moin moin,

Ich bin so ne Art Hobbymathematiker und versuche gerade folgende Termumformumg zu verstehen:

Und zwar von:
$\begin{eqnarray*} \frac{(n-1)!}{k!(n-1-k)!} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} \end{eqnarray*}$

zu:
$\begin{eqnarray*} \frac{(n-1)!(n-1)}{k!(n-k)!} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{(n-1)!k}{k!(n-k)!} \end{eqnarray*}$

Hier wurden die Brüche also gleichnamig gemacht und ich komme gerade nicht darauf, wie dies geschah.

Danke für jede Hilfe smile

smile

14.03.2012, 00:03

Equester

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$\begin{eqnarray*} \frac{(n-1)!(n-\color{red}k\color{black})}{k!(n-k)!}+\frac{(n-1)!k}{k!(n-k)!} \end{eqnarray*}$

Erster Summand: Erweitere mit (n-k).
Zweiter Summand: Erweitere mit k.

Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit: Bin mal im Bett. Falls noch was ist dann am Morgen, oder wer anderes Wink

Wink

.

14.03.2012, 00:43

ElaMiNaTo

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Hola,

Danke für die flinke Antwort.
Also mit dem zweiten Summanden ist die Sache jetzt denke ich klar.
(k-1)!*k müsste ja das gleiche sein wie k!.

Mit dem ersten Summanden hadere ich noch. Du gehst ja glaube ich davon aus, dass ich falsch abgeschrieben habe.

Ich habe den ersten Summanden aber richtig abgeschrieben. Die Lösung stammt von einem Professor. Nicht dass ich denke das Professoren keine Fehler machen. Nur gehe ich erstmal davon aus, dass er keinen Fehler gemacht hat.

Nach der Logik müsste eigentlich der erste Summand mit:
$\begin{eqnarray*} \frac{n-1}{n-1} \end{eqnarray*}$ multipliziert/erweitert worden sein.

Also:
$\begin{eqnarray*} \frac{(n-1)!}{k!(n-1-k)!} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \times \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{n-1}{n-1} \end{eqnarray*}$
Ok, weiter habe ich dann aber keinerlei Ahnung.
verwirrt

verwirrt

14.03.2012, 00:48

Equester

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Mir hat die Sache keine Ruhe gelassen und ich bin noch da^^
(Naja, eigentlich ein anderer Grund).

Schreibe (n-1-k)! als (n-k-1)!.

Substituiere n-k als c

(c-1)!

Das entspricht nun dem zweiten Summanden. Wenn dir dieser klar war, dann sollte
es auch bei diesem der Fall sein.
Und nobody is perfect. Auch ein Prof. verschreibt sich mal an der Tafel Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

14.03.2012, 00:56

ElaMiNaTo

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Wenn er sich verschrieben hat, hat er das den ganzen Umgleichungsweg mitgeschleppt.
Uhh. Ich werd erstmal versuchen pennen zu gehen, bevor ich mich damit weiter beschäftige.

gn8

14.03.2012, 00:59

Equester

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Wenn du mir immernoch nicht glaubst mache eine Probe mit n=3 und k=2.
Einmal nutze meine Verbesserung, einmal stur was der Prof hingeschrieben hat smile

smile

.

Aber erstmal drüberschlafen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wink

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14.03.2012, 10:08

ElaMiNaTo

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Guten Morgen,

Gerade substutuiuert und wie ich sehe, ist es die exakt gleiche Logik wie beim zweiten Summanden.

Jetzt bin ich mal gespannt ob ich das Ding zu Ende bekomme.

Letztendlich zeigt der Prof, dass man es so umstellen kann, dass man zu
$\begin{eqnarray*} {n \choose k} \end{eqnarray*}$
gelangt. Ich vermute, dass du das auch schon vermutet hast Big Laugh

Big Laugh

14.03.2012, 10:29

Equester

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Guten Morgen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Yup damit kommt man letztlich im Zähler auf das gewünschte n! und damit auf das gesuchte
$\begin{eqnarray*} {n \choose k} \end{eqnarray*}$ .

14.03.2012, 10:32

ElaMiNaTo

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Mal sauber aufgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n-1)!(n-k)}{k!(n-k)!}+\frac{(n-1)!k}{k!(n-k)!} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{[(n-1)!(n-k)]+[(n-1)!k]}{k!(n-k)!} \end{eqnarray*}$

Ich habe so meine Befürchtung, dass man so nicht zu
$\begin{eqnarray*} {n \choose k} \end{eqnarray*}$ gelangen kann.
verwirrt

verwirrt

Ok, da haben sich unsere Antworten überschnitten. Brauch trotzdem Hilfe Big Laugh

Big Laugh

Edit: Beim letzteren Bruch habe ich aus einem mal zwischen den Summanden jetzt ein + gemacht, weil mal natürlich falsch ist.

14.03.2012, 10:41

Equester

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Klammere (n-1)! aus und du bist fast schon wieder fertig smile

smile

.

14.03.2012, 10:50

ElaMiNaTo

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Übrigens: ich sehe dass der Prof ganz schön rumgeschlampt hat. Ich habe ja vor mir liegen, was der Prof geschrieben hat. Und als er die Brüche addiert hat hat er das obere vom Bruchstrich multipliziert anstatt addiert, also den Fehler den ich auch begangen habe, aber ich aus purer unachtsamkeit. Dann ist es mir nach ein paar Sekunden Gott sei Dank aufgefallen.

Da sehe ich dann auch, dass das was der Prof geschrieben hat, einfach nicht richtig sein kann.

14.03.2012, 10:54

Equester

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Zitat:

Original von ElaMiNaTo
Da sehe ich dann auch, dass das was der Prof geschrieben hat, einfach nicht richtig sein kann.

Da bin ich jetzt aber beruhigt Big Laugh

Big Laugh

.

Du konntest dann die Umformungen korrekt tätigen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

(Ein Zweizeiler!)

14.03.2012, 11:32

ElaMiNaTo

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Hoi,

Habs gelöst. Frage mich warum ich auf das ausklammern nicht selbe gekommen bin. Es ist ja eigentlich total offensichtlich. Sowas ärgert mich Big Laugh

Big Laugh

Aber naja ok ich bin ja kein Mathestudent oder sowas. Mirfehlt eifnach die Übung.

$\begin{eqnarray*} \frac{[(n-1)!(n-k)]+[(n-1)!k]}{k!(n-k)!} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(n-1)!(n-k+k)}{k!(n-k)!} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(n-1)!n}{k!(n-k)!} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{k!(n-k)!} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} {n \choose k} \end{eqnarray*}$

Eigentlich pupseinfach. Kann sein, dass ich gleich nochmal ne Frage stelle zwecks des substituierens...

14.03.2012, 11:37

Equester

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Dazu muss man kein Mathestudent sein^^ (was ich auch nicht bin :P).
Aber ja, ist vollens richtig. Kannst ja dem Prof zeigen, dass es auch ohne Tricksen geht Big Laugh

Big Laugh

.

14.03.2012, 11:55

ElaMiNaTo

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Dass man dafür kein Mathestuden sein brauch stimmt. Sonst hätte ich das ja nicht kapiert. Ich meinte mehr die ÜBUNG smile

smile

Ich bin so seeeehr aus Mathe raus.

Machst du Mathe auch nur aus purer Leidenschaft?

Aber jetzt zu meiner Substitutionsfrage (Substitution ist echt ein blödes Wort Big Laugh

Big Laugh

)
Und zwar warum gilt bzw., warum kann man

(n-1-k)! als (n-k-1)!
schreiben. Es gilt hier ja nicht das Kommutativgesetz so das man das einfach vertauschen könnte.

14.03.2012, 12:04

Equester

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Mathe aus purer Leidenschaft Herz

Herz

.

Warum sollte das Kommutativgesetz hier nicht gelten? Erst die Klammer, dann die
Fakultät.
Probier es gerne mit Zahlenbeispielen aus Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

14.03.2012, 12:22

ElaMiNaTo

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Ich bin auch so einer der Mathe aus purer Leidenschaft ab und zu macht. Herz

Herz

Schreibe (n-1-k)! als (n-k-1)!.

Weiß nicht ob du hierran gedacht hast: Aber offensichtlich ist dies eine Lösung:

(n-1-k)!=[n-(1+k)]!
[n-(k+1)]!=(n-k-1)!

Du hattest denke ich was anderes im Sinn? Big Laugh

Big Laugh

Falls ja:
Ich würde es gerne sehen.

Edit: Vorsicht! Ich bin verwirrt Big Laugh

Big Laugh

14.03.2012, 12:26

Equester

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Ich kann dir nicht folgen?
Einfach das Kommutativgesetz anwenden Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

(n-1-k)!=(-1+n-k)!=(n-k-1)!=...

14.03.2012, 12:30

ElaMiNaTo

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Naja:

A-b-c muss doch das gleiche sein wie: a-(b+c) oder nicht, denn es wird ja die Summe von b+c von A abgezogen? dann kann man in den Klammern das Kommutativgesetz anwenden a-(c+b). Falls irgendwas daran falsch ist bitte sagen.

Ok, ich denke, dass man das Kommutativgesetz nicht anwenden kann, weil das doch nur bei einer Summe oder bei einem Produkt gilt und nicht etwa bei einer Differenz?

14.03.2012, 12:33

Equester

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a-b-c=a-(b+c) !!

Und natürlich gilt das Kommutativgesetz auch für eine Differenz. Eine Differenz ist nichts
anderes als eine Summe! a-b=a+(-b). Du musst beim Tauschen halt das Vorzeichen
mitschleppen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Bin leider bis heute Abend weg. Kannsts dirs ja nochmals anschaun. Ich antworte
dann heut Abend Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Wink

14.03.2012, 12:35

ElaMiNaTo

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a-b-c=a-(b+c) Ja, genau. Aber warum dann nicht einfach in der Klammer das Kommutativgesetz anwenden?

a-(c+b)
Das scheint ja nicht zu gehen? Warum?

14.03.2012, 12:53

ElaMiNaTo

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Und noch eine Frage:
Mit a-b=a+(-b) komme ich natürlich auch auf die richtige Lösung.
Das hat mir bisher immer schwierigkeiten bereitet, warum
a-b=a+(-b) gilt.

Für mich ist das wie ein Widerspruch. Es soll etwas addiert werden, was eigentlich subtrahiert werden soll? Was denn nun: Addition oder Subtraktion? Aber beides zusammen? Das geht doch nicht!

Kleiner Lichtblick: Das - steht ja gar nicht für die Subtraktion, sondern nur für eine negative Zahl. Ein Negativvorzeichen ist nicht identisch mit Subtraktion! Richtig? Damit wäre der Widerspruch schonmal vom Tisch.

Aber was bedeutet es, wenn man eine negative Zahl zu einer anderen addiert? Wie ist das festgelegt? bzw. ist da eine Logk hinter? Bei Mathe muss ja eine Logik dahinter sein!

Und: Wenn ja etwas zu a addiert wird, dann muss doch die Summe größer als a sein! Ich freu mich schon darauf, wenn die falschen Denkmuster von mir zerbröckeln.

14.03.2012, 16:22

ElaMiNaTo

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Ok hier mal eine eigene Überlegung

Wenn man eine positve Zahl zu a addiert wird etwas mehr. Addiert man 0 bleibt die Zahl gleich. Addiert man eine negative Zahl zu a, so macht es Sinn dies als eine Subtraktion zu interpretieren.

Ich glaube so hat man das auch dann definiert, oder?

Aber, wo ist das logische Fundament? Das obige macht nur Sinn, aber ist das auch logisch?

14.03.2012, 21:00

Equester

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Ich dachte ich hätte schon erwähnt, kein Mathematiker zu sein :P.

Wie bitte?
a-b-c=a-(b+c)
a-(c+b)

Natürlich ist das alles dasselbe! Verwende das Kommutativgesetz innerhalb der Klammer.
Erst Klammerrechnung, dann Strichrechnung!

Wegen a-b=a+(-b) schaue in iwelchen Mathelexika nach. Dafür bin ich nicht zuständig Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

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