Gruppe inverses Element

14.03.2012, 00:59	Calam	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppe inverses Element Hallo, zur Vorbereitung auf meine LADS-Klausur, stecke ich an folgender Aufgabe fest, bei der ich einfach kein Stück weiterkomme. Angeblich hatten wir diese Aufgabe mal in den Übungsaufgaben, aber nur was halbwegs Ähnliches, was ich aber nicht anwenden kann. Die Aufgabe lautet Sei $\begin{eqnarray} (G, \diamond) \end{eqnarray}$ eine Gruppe. Beweisen Sie, dass für alle a, b $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ G gilt: $\begin{eqnarray} (a\diamond b)' = b' \diamond a' \end{eqnarray}$ Wobei $\begin{eqnarray} a' \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} b' \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (a \diamond b)' \end{eqnarray}$ die inversen Elemente zu a bzw. b bzw. $\begin{eqnarray} (a \diamond b) \end{eqnarray}$ bezeichnen. Begründen Sie die einzelnen Beweisschritte. Ich kenne die Gruppenaxiome, weiß was ein inverses Element ist usw., aber hier habe ich wirklich gar keine Idee. Würde mich über jeden Denkanstoß oder Tipp freuen! Grüße Calam
14.03.2012, 01:08	parkerstone	Auf diesen Beitrag antworten »
Was gilt denn nach Def. für $\begin{eqnarray} (a\diamond b)' \end{eqnarray}$ ? Was musst du also zeigen dass auch für $\begin{eqnarray} b' \diamond a' \end{eqnarray}$ gilt?
14.03.2012, 01:24	Calam	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, also $\begin{eqnarray} (a\diamond b)' \diamond (a\diamond b) = e \end{eqnarray}$ Muss man was mit dem neutralen Element machen? Ich bin etwas verwirrt, da ich immer ans "Ausklammern" mit dem ' denken muss
14.03.2012, 01:26	parkerstone	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige jetzt also dass auch $\begin{eqnarray} b' \diamond a' \end{eqnarray}$ diese Eigenschaft hat und nutze die ... des Inversen aus.
14.03.2012, 01:56	Calam	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh man, das war eine Klausuraufgabe und ich entdeckte eben die fast gleiche Aufgabe in einem kleinen Lemma >< Da geht's um die Kürzungsregel. Da steht: Wir zeigen: $\begin{eqnarray} b' \diamond a' = (a \diamond b)' \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} (b' \diamond a') \diamond (a \diamond b) = b' \diamond (a' \diamond a) \diamond b = b' \diamond b = e \end{eqnarray}$ Meintest du Eindeutigkeit des Inversen? Also $\begin{eqnarray} x' \diamond x = e \end{eqnarray}$ ist das, oder? Das mit der Kürzungsregel stell ich mir dann wie ein "Rüberholen" des $\begin{eqnarray} (a \diamond b)' \end{eqnarray}$ vor, sodass das ' wegfällt, ähnlich wie bei $\begin{eqnarray} x+y = z \end{eqnarray}$ auf beiden Seiten "minus z", nur dass bei meiner Gruppe das Inverse ' wegfällt? Kann ich mir das so vorstellen? Sorry für die blöde Formulierung, aber anders kann ich es nicht beschreiben ^^

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