Reihe auf Konvergenz untersuchen

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14.03.2012, 15:03	Lunali	Auf diesen Beitrag antworten »
Reihe auf Konvergenz untersuchen Meine Frage: Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ Hierbei ist die Summe nur über diejenigen n $\begin{eqnarray} \in \mathbb N \end{eqnarray}$ zu erstrecken, in derer Dezimaldarstellung die Ziffer 7 nicht vorkommt. Meine Ideen: Wie kann ich hier am besten vorgehen?
14.03.2012, 15:29	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Finde eine konvergente Majorante. Zerlege zu diesem Zweck den Summationsbereich immer in Blöcke, wo nur über $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ -stellige Zahlen $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ summiert wird, das sind die mit $\begin{eqnarray} 10^{m-1} \leq n \leq 10^m-1 \end{eqnarray}$ . Es geht dann also um $\begin{eqnarray} \sum_{\substack{n=1\\ \text{ohne 7}}}^{\infty} \frac{1}{n} = \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{\substack{n=10^{m-1}\\ \text{ohne 7}}}^{10^m-1} \frac{1}{n} \leq \ldots \end{eqnarray}$ Warum das ganze? Dazu überlege dir zunächst mal, wieviel $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ -stellige Zahlen es gibt, die ohne Ziffer 7 auskommen... EDIT (19.3.12): Interesse verloren? Eigentlich schade.
19.03.2012, 14:56	Lunali	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt $\begin{eqnarray} 9^{m} \end{eqnarray}$ m-stellige Ziffern , die ohne Ziffer 7 auskommen. Das haut auch überall hin außer bei $\begin{eqnarray} 9^{1} \end{eqnarray}$ weil es ja zwischen 1 und 9 nur 8 zulässige Zahlen gibt und nicht 9. Was muss ich denn dann anders machen?
19.03.2012, 15:03	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich sind es nur $\begin{eqnarray} 8\cdot 9^{m-1} \end{eqnarray}$ solche Zahlen, denn $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ -stellige Zahlen mit "führender" Null bezeichnet man gewöhnlich nicht als $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ -stellig.
19.03.2012, 15:11	Lunali	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay aber wie hilft mir das jetzt, also wie kann ich hier weitermachen?
19.03.2012, 15:27	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst doch jeden Summanden in der inneren Summe durch das Maximum aller Summanden nach oben abschätzen: $\begin{eqnarray} \sum_{\substack{n=10^{m-1}\\ \text{ohne 7}}}^{10^m-1} \frac{1}{n} \leq \sum_{\substack{n=10^{m-1}\\ \text{ohne 7}}}^{10^m-1} \frac{1}{10^{m-1}} = 8\cdot 9^{m-1}\cdot \frac{1}{10^{m-1}} \end{eqnarray}$ .
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19.03.2012, 18:43	Lunali	Auf diesen Beitrag antworten »
Also kann man als Grund dafür das die Reihe konvergiert schreiben, dass die Majorante, die durch das Produkt $\begin{eqnarray} 8\cdot 9^{m-1}\cdot \frac{1}{10^{m-1}} \end{eqnarray}$ gegen einen festen Grenzwert läuft (für beliebige n).
19.03.2012, 18:54	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit "Majorante gegen festen Grenzwert" willst du wohl einfach sagen, dass es eine konvergente Majorante gibt? Genauso ist es, man kann genauer sagen, dass es (als Reihe über den äußeren Index $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ betrachtet) eine geometrische Reihe ist.
19.03.2012, 21:39	Lunali	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay also brauch ich die Konvergenz davon nicht mehr zu beweisen?
19.03.2012, 23:25	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach dem Stichwort "geometrische Reihe" sollten sich derartige Fragen doch erledigt haben. Rechne doch einfach den Reihenwert der Majorante aus, und fertig.
20.03.2012, 21:52	Lunali	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm Reihenwerte hatten wir noch nicht... $\begin{eqnarray} 8\cdot 9^{m-1}\cdot \frac{1}{10^{m-1}} \end{eqnarray}$ kommt davor noch ein Summenzeichen, sodass es eine Reihe wird?

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