Stammfunktion exp(x^2)

14.03.2012, 16:42	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Stammfunktion exp(x^2) Meine Frage: Hi, ich habe mich gerade gefragt, was die Stammfunktion von $\begin{eqnarray} e^{x^2} \end{eqnarray}$ ist. Weil es ja nicht $\begin{eqnarray} \frac{1}{2x}e^{x^2} \end{eqnarray}$ sein kann, wie ich dachte. Also habe ich es in das Boardintegrationsprogramm eingetippt, und das resultat war eine Funktion mit $\begin{eqnarray} \sqrt{\pi} \end{eqnarray}$ der Imaginäre Einheit $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ und der error Funktion. Und nun stellt sich mir die Frage, wie man auf sowas kommt. Alles was ich bisher integriert habe waren e-Funktionen mit linearen Exponenten. Kann man diese Funktion überhaupt integrieren? Es gibt ja auch welche die man nicht integrieren kann. Meine Ideen: Ich fände es nett wenn mich da jemand aufklären könnte. Die tatsächliche Lösung von $\begin{eqnarray} e^{x^2} dx = -\frac{\sqrt{\pi}\cdot i \cdot erf(ix)}{2} \end{eqnarray}$ Mfg
14.03.2012, 16:50	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stammfunktion exp(x^2) Diese Funktion hat (wie auch z. B. $\begin{eqnarray} e^{-x^{2} } \end{eqnarray}$ ) keine bekannte Stammfunktion. Die Bedeutung der Errorfunction möge Dir ggf. ein waschechter Mathematiker erklären.
14.03.2012, 16:54	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Schade. Hätte mich jetzt interessiert was es damit auf sich hat. Aus dem Wikipediaartikel werde ich nicht ganz so schlau. Trotzdem danke.
14.03.2012, 17:30	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
So sonderlich viel für dich interessantes gibt es dazu auch glaube ich nicht zu sagen. Diese Fehlerfunktion ist definiert als eine solche Stammfunktion: $\begin{eqnarray} \operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^x e^{-t^2} \, \dd t \end{eqnarray}$ Fakt ist ja: Es gibt eine passende Stammfunktion. Sie lässt sich nur nicht mit elementaren Funktionen darstellen. Aber speziell über die Reihenentwicklung kann man ja eine Stammfunktion angeben, wenn auch nicht in geschlossener Form. Die Fehlerfunktion definiert man sich dann eben einfach so. Über diese Reihendarstellung z.B. lassen sich die Funktionswerte auch gut nähern. Je nachdem, bis zu welcher Ordnung man geht, wird es immer genauer. $\begin{eqnarray} \operatorname{erf}(x) = \frac {2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)n!}= \frac {2}{\sqrt{\pi}}\left( x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{10} - \frac{x^7}{42} + \frac{x^9}{216} - \dotsb \right) \end{eqnarray}$ Wenn du diese Reihendarstellung mal ableitest (innerhalb des Konverganzradius kann man eine unendliche Reihe gliedweise differenzieren), kannst du dich auch davon überzeugen, dass das tatsächlich eine Stammfunktion ist (abgesehen von dem Vorfaktor natürlich, der da aus anderen Gründen steht), die Reihendarstellung der e-Funktion kennst du ja wahrscheinlich. Du hast jetzt den Fall $\begin{eqnarray} \int e^{t^2} \, \dd t \end{eqnarray}$ was ganz ähnlich ist, man landet so bei der imaginären Fehlerfunktion. Wenn du magst, kannst du bei obigem Ausdruck ja mal schauen, was sich mit der Substitution $\begin{eqnarray} t=i \cdot z \end{eqnarray}$ ergibt. Aber wir sind hier auch jenseits der Schulmathematik, wenn du dich da lieber nicht draufstürzen willst, ist das auch nur allzu verständlich. Edit: Da oben ist übrigens ein Minus zuviel in deinem ersten Post. Bei der Stammfunktion das Minus vor dem Bruch gehört da nicht hin.
14.03.2012, 17:42	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort. Das man die e-Funktion als Rheiedarstellen kann und dann integriert, darauf wäre ich garnicht gekommen. Allein für diesen Gedanken hat sich die Frage für mich schon gelohnt. Ich würde mich ehrlich gesagt gerne auf diese Aufgabe stürzen, aber dazu fehlt mir das Verständnis über die komplexen Zahlen, weil wir die noch nicht in der Schule hatten und auch meines Wissens nach nicht einführen. Über die komplexen Zahlen weiß ich leider nur ein paar Rechenregeln und das was ich sonst noch so drüber gelesen oder in Videos gesehen habe. Habe mich aber zugegebener Maßen noch nie an einer Aufgabe selber versucht. Sollte ich vielleicht mal tuen.

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