Abgeschlossenheit zeigen (Topologie)

14.03.2012, 17:10

Gast11022013

Abgeschlossenheit zeigen (Topologie)

Meine Frage:
Zeigen Sie:

Jede kompakte Teilmenge eines Hausdorff-Raums ist abgeschlossen.

Verwenden Sie dafür folgenden Hilfssatz:

Ist X ein Hausdorff-Raum und K eine kompakte Teilmenge von X, so existiert zu jedem Punkt $\begin{eqnarray*} x\in X\setminus K \end{eqnarray*}$ eine Umgebung U von K und eine Umgebung V von x mit $\begin{eqnarray*} U\cap V=\emptyset \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Hallo, hier ist meine Idee:

Sei $\begin{eqnarray*} K\subseteq X \end{eqnarray*}$ , K kompakt, X hausdorffsch.
Zeige, daß $\begin{eqnarray*} X\setminus K \end{eqnarray*}$ offen ist.

Nach dem Hilfssatz existiert zu jedem $\begin{eqnarray*} x\in X\setminus K \end{eqnarray*}$ eine Umgebung $\begin{eqnarray*} U_x \end{eqnarray*}$ von x und eine Umgebung $\begin{eqnarray*} V_x \end{eqnarray*}$ von K mit $\begin{eqnarray*} U_x\cap V_x=\emptyset \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} \exists~O_x\in\mathcal{O}: x\in O_x\subseteq U_x, V_x\in \mathcal{U}(y)~\forall~y\in K \end{eqnarray*}$ .

Dann gibt es insbesondere für jedes $\begin{eqnarray*} x\in X\setminus K \end{eqnarray*}$ eine offene Umgebung $\begin{eqnarray*} U_x':=O_x \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} X\setminus K=\bigcup_{x\in X\setminus K}U_x' \end{eqnarray*}$ , dies ist als Vereinigung offener Mengen offen.

Ich wüsste gerne, ob der Beweis i.O. ist.

Danke für jede Mühe!

14.03.2012, 23:58

speedyschmidt

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Naja, ich weiß nicht, was $\begin{eqnarray*} \mathcal U \end{eqnarray*}$ sein soll, vermutlich, die Menge aller Umgebungen.

" $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ " ist natürlich trivial, für " $\begin{eqnarray*} \superset \end{eqnarray*}$ " würde ich nochmal schreiben, dass $\begin{eqnarray*} O_x\cap V_x \end{eqnarray*}$ leer ist.

15.03.2012, 00:17

Gast11022013

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Zitat:

Original von speedyschmidt
Naja, ich weiß nicht, was $\begin{eqnarray*} \mathcal U \end{eqnarray*}$ sein soll, vermutlich, die Menge aller Umgebungen.

Genau.

Zitat:

Original von speedyschmidt
[...] für " $\begin{eqnarray*} \supset \end{eqnarray*}$ " würde ich nochmal schreiben, dass $\begin{eqnarray*} O_x\cap V_x \end{eqnarray*}$ leer ist.

Okay, ich schreibe es mal ausführlicher hin.

Sei $\begin{eqnarray*} x\in\bigcup_{x\in X\setminus K}U_x' \end{eqnarray*}$ . Dann ex. ein $\begin{eqnarray*} U_x': x\in U_x' \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} U_x'\cap V_x=\emptyset \end{eqnarray*}$ gilt, folgt $\begin{eqnarray*} x\notin V_x \end{eqnarray*}$ .

Dann folgt $\begin{eqnarray*} x\notin K \end{eqnarray*}$ , denn andernfalls würde gelten $\begin{eqnarray*} V_x\in\mathcal{U}(x) \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} x\in V_x \end{eqnarray*}$ .

Damit $\begin{eqnarray*} x\in X\setminus K \end{eqnarray*}$ .

So i.O.?

15.03.2012, 16:30

speedyschmidt

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15.03.2012, 16:56

Gast11022013

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Schönen Dank für die Hilfe.

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