Extremwertaufgabe

14.03.2012, 17:36

Jazmin

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Extremwertaufgabe

Meine Frage:
Ich schreibe bald eine Mathe-Klausur und bin in unserem Buch auf folgende Frage gestoßen:
In eine quadratische Pyramide mit der Grundseite g und der Höhe h ist eine zweite Pyramide so einzubauen, dass ihre Spitze im Mittelpunkt der Grundfläche liegt und ihr Volumen maximal wird. Bestimmen Sie Höhe und Grundseite der neuen Pyramide.

Meine Ideen:
da das Volumen maximal sein soll habe ich als hauptbedingung

V= max= 1/3 * g^2 * h

genommen

eigentlich fällt es mir nicht wirklich schwer haupt- und nebenbedingung aufzustellen, doch bei dieser aufgabe habe ich für die nebenbedingung einfach keine ahnung

14.03.2012, 18:23

weisbrot

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RE: Extremwertaufgabe
hoffe hab das richtig verstanden (siehe anhang)

nebenbedingung ist dann einfach, dass die höhe und grundfläche der neuen pyramide irgendwie von der alten abhängen, da sie ja in ihr liegen soll. du kannst die extremwertbetrachtung übrigends vereinfachen indem du nur die querschnittsfläche betrachtest (siehe meine skizze), da ja alles schön symmetrisch ist. lg

14.03.2012, 20:19

Jazmin

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also könnte ich die verhältnisse folgendermaßen aufstellen? :

$\begin{eqnarray*} \frac{g}{h} = \frac{gP}{hP} \end{eqnarray*}$

(hP ist die Höhe der kleineren Pyramide, gP die Grundseite der kleinen Pyramide)

und das dann als nebenbedingung benutzen ?? verwirrt

verwirrt

14.03.2012, 21:43

weisbrot

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nein, das ist doch nicht was gefordert ist. guck dir mal meine skizze an, wenn die innere pyramide sehr flach bzw. sehr spitz ist, dann stimmen diese verhältnisse ganz bestimmt nicht überein.

aber so ähnlich: $\begin{eqnarray*} \frac{h-h_P}{g_P}=\frac{h}{g} \end{eqnarray*}$

das sollte die nebenbedingung sein (vielleicht hattest du auch daran gedacht und nur das falsche aufgeschrieben). lg

14.03.2012, 22:18

Jazmin

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achsoooo, jetzt habe ich verstanden wie ich diese verhältnisse aufstellen soll smile

smile

vielen vielen dank, das hat mir wirklich sehr geholfen Freude

Freude

Gott

15.03.2012, 17:56

Jazmin

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also ich habe jetzt meine newbenbedingung nach g umgestellt, in meine hauptbedingung eingesetzt, die zielfunktion aufgestellt, abgeleitet und gleich null gesetzt, aber jetzt stehe ich vor dem nächsten problem.
meine formel lautet

$\begin{eqnarray*} V'(g) = - \frac{h*g^3-hP*g^2}{(3gP)^2} \end{eqnarray*}$

egal was ich mache, meine ergebnis ist immer 0 oder nicht lösbar. wie löse ich diese formel nach g auf?? traurig

traurig

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16.03.2012, 09:52

klarsoweit

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Also irgendwie gibt es hier eine babylonische Sprachverwirrung. Du sagst:

Zitat:

Original von Jazmin
(hP ist die Höhe der kleineren Pyramide, gP die Grundseite der kleinen Pyramide)

Dann aber ist deine Volumenformel von g abhängig und es tauchen noch alle Variablen auf, obwohl du doch eine mittels der Nebenbedingung ersetzt haben müßtest. Vielleicht sortierst du alles erstmal, sorge für ordentliche Definitionen (was ist was) und dann sehen wir weiter.

16.03.2012, 21:00

Jazmin

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also meine hauptbedingung ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} * g^2 * h \end{eqnarray*}$
meine nebenbedingung $\begin{eqnarray*} \frac{h-h_P}{g_P}=\frac{h}{g} \end{eqnarray*}$

ich habe die nebenbedingung auf h umgestellt, und habe dadurch
$\begin{eqnarray*} h = \frac{h*g - h_P*g}{g_P} \end{eqnarray*}$

danach habe ich das in die hauptbedingung eingesetzt und dann dafür raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} * g^2 * (\frac{h*g - h_P * g}{g_P}) \end{eqnarray*}$ danach habe ich umgeformt zu
$\begin{eqnarray*} \frac{h*g^3 - h_P * g^3}{3*g_P} \end{eqnarray*}$

und jetzt abgeleitet und gleich null gesetzt, also :
$\begin{eqnarray*} - \frac{h*g^3 - h_P * g^3}{3^2*g_P^2} = 0 \end{eqnarray*}$

nur weiß ich jetzt nicht weiter traurig

traurig

denn ich weiß einfach nicht wie ich diese formel nach $\begin{eqnarray*} h_P \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} g_P \end{eqnarray*}$ auflösen soll, weil ich ja die seiten $\begin{eqnarray*} h_P \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_P \end{eqnarray*}$ der neuen pyramide ausrechnen soll

16.03.2012, 22:31

Jazmin

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kann mir bitte jemand einen nachvollziehbaren lösungsweg für diese aufgabe geben? oder wenigstens ein bischen hilfe?

17.03.2012, 14:39

sulo

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Wir können die Lösung gerne zusammen erarbeiten.

Ich setze mich gerade mit der Aufgabe auseinander. Ist es ok, wenn ich für die große Pyramide G und H verwende, für die kleine g und h?

smile

smile

17.03.2012, 14:43

sulo

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Zitat:

Original von Jazmin
ich habe die nebenbedingung auf h umgestellt, und habe dadurch
$\begin{eqnarray*} h = \frac{h*g - h_P*g}{g_P} \end{eqnarray*}$

Diese Umstellung geht so nicht. Du hast das h sowohl links als auch rechts stehen.

Außerdem hast du nach h umgestellt, aber das ist doch die alte Pyramide. Deren Werte betrachten wir als fest.

Es empfiehlt sich wirklich mit G und H für die alte sowie g und h für die neue Pyramide zu arbeiten. Dann besteht keine Gefahr, dass man durcheinander kommt.

edit: Das weitere Umformen, Ableiten und Ausrechnen ist auch nicht besonders schwierig.

smile

smile

17.03.2012, 20:22

Jazmin

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okay danke. dann nehme ich jetzt mal g h und G H . ich habe die aufgabe jetzt nocheinmal gerechnet, und wieder etwas anderes herausbekommen

ich habe als hauptbedingung : $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}*g^2 *h \end{eqnarray*}$

als nebenbedingung : $\begin{eqnarray*} \frac{H}{G} = \frac{H-h}{g} \end{eqnarray*}$

und jetzt habe ich versucht die nebenbedingung nach h umzustellen und als ergebnis habe ich nun das:

$\begin{eqnarray*} - \frac{H*g}{G} + H \end{eqnarray*}$

wäre das soweit richtig?

17.03.2012, 20:30

sulo

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Ja, das ist richtig. Freude

Freude

$\begin{eqnarray*} h = H - \frac{H*g}{G} \end{eqnarray*}$ smile

smile

17.03.2012, 20:56

Jazmin

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smile

wenn ich es nun in die hauptbedingung einsetzte, wäre es doch

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} * g^2 * \frac{H-Hg}{G} \end{eqnarray*}$

und somit

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}* Hg^2 - \frac{Hg^3}{3G} \end{eqnarray*}$

und die ableitung

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} * Hg + \frac{Hg^3}{3G^2} \end{eqnarray*}$

17.03.2012, 20:59

sulo

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Es wäre besser, wenn du Funktionsgleichungen aufschreiben würdest:

$\begin{eqnarray*} V(g) = \frac{1}{3} * g^2 * \frac{H-Hg}{G} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V(g) = \frac{1}{3}* Hg^2 - \frac{Hg^3}{3G} \end{eqnarray*}$

Dann hättest du bei der Ableitung nicht übersehen, dass auch in dem Bruch ein g³ steckt, das noch abgeleitet werde muss. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

$\begin{eqnarray*} V'(g) = \frac{2}{3} * Hg + \frac{Hg^3}{3G^2} \end{eqnarray*}$

Ich nehme an, das + ist ein Tippfehler?

smile

smile

17.03.2012, 21:11

Jazmin

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achso ich muss auch das g^3 ableiten?

ich dachte dass ich wie beim beispiel $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} = -\frac{1}{-x^2} \end{eqnarray*}$ einfach das vorzeichen getauscht wird und die variable im nenner quadriert wird... also wäre es dann richtig wenn ich schreibe:
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} * Hg - \frac{3Hg^2}{3gG^2} \end{eqnarray*}$

aber wieso bleibt das minus ?

17.03.2012, 21:14

sulo

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Nein, du bringst da was durcheinander.

Vielleicht solltest du es einfach so aufschreiben: $\begin{eqnarray*} V(g) = \frac{1}{3}* Hg^2 - \frac{H}{3G} \cdot g^3 \end{eqnarray*}$

Der Bruch ist fest, das g ist die Variable, nach der abgeleitet wird. smile

smile

17.03.2012, 21:30

Jazmin

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$\begin{eqnarray*} V'(g) = \frac{2}{3}* Hg - \frac{H}{3G^2} \cdot 3g^2 \end{eqnarray*}$

und dadurch wäre es doch dann

$\begin{eqnarray*} V'(g) = \frac{2}{3}* Hg - \frac{3Hg^2}{3G^2} \end{eqnarray*}$

oder wird das / 3G nicht zum Quadrat genommen, also:

$\begin{eqnarray*} V'(g) = \frac{2}{3}* Hg - \frac{3Hg^2}{3G} \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

17.03.2012, 21:41

sulo

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Das ist die richtige Ableitung: $\begin{eqnarray*} V'(g) = \frac{2}{3}* Hg - \frac{3Hg^2}{3G} \end{eqnarray*}$

Warum sollte das G quadriert werden? Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.03.2012, 21:50

Jazmin

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ich dachte man behandlt das G so wie das normale $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ dass man bei einer ableitung zu $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$ macht.

17.03.2012, 21:53

sulo

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Aber G wird nicht abgeleitet, es ist keine Variable sondern eine feste Größe. smile

smile

17.03.2012, 22:03

Jazmin

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achso, ich habe das jetzt die ganze zeit als variable angesehen, aber ich kann sie ja nicht verändern..

ich habe jetzt die formel auf 0 umgestellt und habe ein recht logisches ergebnis wie ich denke.
aber ich weiß nicht genau, ob ich das alles so machen darf, wie ich das jetzt gerechnet habe

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} * Hg - \frac{3Hg^2}{3G} = 0 \end{eqnarray*}$ | * 3G

$\begin{eqnarray*} 2 HgG - 3Hg^2 = 0 \end{eqnarray*}$ | T

$\begin{eqnarray*} g*(2HG - 3Hg)=0 \end{eqnarray*}$ | :g

$\begin{eqnarray*} 2HG - 3Hg =0 \end{eqnarray*}$ | + 3Hg

$\begin{eqnarray*} 2 HG = 3Hg \end{eqnarray*}$ | : 3H

$\begin{eqnarray*} g = \frac{2HG}{3H} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g= \frac{2}{3}* G \end{eqnarray*}$

17.03.2012, 22:07

sulo

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Deine Lösung ist richtig. Freude

Freude

Allerdings unterschlägst du eine weitere: $\begin{eqnarray*} g*(2HG - 3Hg)=0 \end{eqnarray*}$
Ganz offensichtlich ist g = 0 eine weitere Lösung.

(Bedenke, dass du hier Extrema suchst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

17.03.2012, 22:12

Jazmin

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oh ja das g=0 habe ich gar nicht erst bemerkt, da es ja eigentlich klar ist das g eine länge über 0 haben muss

und wenn ich g jetzt in die nebenbedingung und formel von h einsetzte bekomme ich

$\begin{eqnarray*} h= H-\frac{2*HG}{3G} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h= H - \frac{2}{3}H \end{eqnarray*}$

oder einfach $\begin{eqnarray*} h= \frac{1}{3}H \end{eqnarray*}$

17.03.2012, 22:12

sulo

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Ja, und weiter? Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.03.2012, 22:17

Jazmin

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das $\begin{eqnarray*} h= \frac{1}{3}H \end{eqnarray*}$ hatte ich vergessen Augenzwinkern

Augenzwinkern

vielen dank für die Hilfe smile

smile

ich war die letzten 2 tage wegen dieser aufgabe am verzweifeln, weil unsere lehrerin gesagt hatte, dass so eine ähnliche aufgabe sicher in der arbeit vorkommt, aber jezt müsste ich ja gut vorbereitet sein

danke! Freude

Freude

17.03.2012, 22:20

sulo

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Gern geschehen. smile

smile

Bedenke, dass du noch eine zweite Ableitung machen solltest und überprüfen, ob du ein Min oder ein Max vorliegen hast. Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.03.2012, 23:37

lücke

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Hallo hab mir das ein bisschen näher angschaut und nun habe ich eine Frage...

Eine NB macht man ja nur wenn in der HB mehr als 1 unbekannte ist..., aber wie weiß ich den, wnen ich die Hauptbedingung habe, was nun eine unbekannte ist oder nicht. Ich kann auf jedenfall nciht aus dem Bso herauslesen, was da jetzt bekannt ist...

Wie muss man da vorgehn das man das herausbekommt?

27.03.2012, 23:41

sulo

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Was ist ein Bso? verwirrt

verwirrt

Zur Frage: Man muss verstehen, was man gegeben hat und was man sucht.
Dann muss man verstehen, welchen Weg man zur Lösung wählt und welche Variablen man wie durch andere oder feste Werte ersetzen kann, so dass man die Zahl der Variablen reduziert.

Wie gesagt: Man muss einfach verstehen, was man da macht. smile

smile

28.03.2012, 01:01

lücke

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Sorry ich meinte Bsp.

Verstehen ist gut^^.

Wenn steht man hat eine Pyramide gegeben mit der Grundkante g und der Höhe h....

Hier kann man annehmen, oder es IST sogar so, das die 2 Variablen konstanten sind, d.h. diese sind gegeben nur in form eines Buchstabens.

Hab ich recht?

28.03.2012, 09:00

sulo

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Ja, das ist richtig.

Wenn die Pyramide gegeben ist, dann sind sämtliche Strecken und Flächen an ihr auch gegeben, in unserem Fall eben Grundseite und Höhe. Diese Werte sind dann für unsere Rechnung nicht veränderbar, sie sind konstant.

smile

smile

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