Lösung von Bruchgleichungen

14.03.2012, 18:38

Monkey101

Lösung von Bruchgleichungen

Edit (mY+): Um Hilfe zu ersuchen, ist entbehrlich, denn hier wird ohnehin immer geholfen. Also bitte in Zukunft davon abzusehen! Titel modifiziert.

Hallo.
Das ist mein erster Beitrag hier also bitte lasst Gnade walten falls ich was falsch mache.
Ich fange jetzt zum Sommersemester mit einem Ingenieursstudium an und hatte letzte Woche den Mathe-Vorkurs. Ich musste leider feststellen das ich doch arge Probleme beim lösen von Bruch- & Wurzelgleichungen habe. Das liegt zum einen daran das ich schon immer Probleme mit Brüchen und Wurzeln hatte und zum anderen das je mehr ich im Internet und in Büchern suche ich umso verwirrter werde.
Mein Hauptproblem bei Bruchgleichungen ist das ich nie genau weiß wann der Nenner nach dem multiplizieren wegfällt und wann er stehen bleibt. (Ich weiß klingt nicht sehr schwierig aber ich erkenn da kein System hinter).
Am besten erkläre ich es mit Beispielen...ich probier das mal mit dem Latex dingens hier:
Ganz simples Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a+b}{ab} \end{eqnarray*}$

Das stimmt ja so an sich...mir wurde allerdings beigebracht das ich, um so was zu lösen, den linken Nenner mit dem rechten Zähler multiplizieren soll und andersrum und da ich ja mit den Nennern multipliziert habe diese auch wegfallen. Was bei diesem Beispiel hier allerdings nicht der Fall wäre...

So wie z.B. in diesem Beispiel aus einem Matheübungsbuch:
$\begin{eqnarray*} \frac{5}{x-1} = \frac{6}{x+2} \end{eqnarray*}$

Wenn ich hier jetzt den linken Nenner mit dem rechten Zähler multipliziere und umgekehrt komme ich auf sowas hier:
$\begin{eqnarray*} 5\left( x+2\right)=6\left( x-2\right) \end{eqnarray*}$

Was dann aufgelöst x=16 ergibt. Nur hier sind die Nenner jetzt verschwunden...

Das sind vielleicht jetzt nicht die besten Beispiele aber vielleicht erkennt man so ja schon mein Problem. Denn so verwirrt krieg ich Probleme bei Aufgaben wie:
$\begin{eqnarray*} \frac{2+x}{x+7} -\frac{1-x}{x-5}= \frac{3x}{x+6} \end{eqnarray*}$

Nehme ich jetzt diese "Überkreuzmultiplikation", bleiben die Nenner auf der linken Seite stehen oder fallen sie weg? Habe ich also:
$\begin{eqnarray*} \left( 2+x\right)\left( x-5\right)-\left( 1-x\right)\left( x+7\right)= \frac{3x}{x+6} \end{eqnarray*}$ da stehen oder:

$\begin{eqnarray*} \frac{\left( 2+x\right)\left( x-5\right)-\left( 1-x\right)\left( x+7\right)}{\left( x+7\right)\left( x-5\right)} \end{eqnarray*}$

Je nach dem Unterscheidet sich der Schritt mit dem Term hinter dem "=" ja schon erheblich...

So waren auch bei dem Vorkurs 2 Aufgaben die mich echt zur Verzfeiflung treiben.

Da wäre:

$\begin{eqnarray*} \frac{x+1}{15} +\frac{2x-10}{5}=3- \frac{3x-16}{3} \end{eqnarray*}$

Mich hat heute einer auf die Richtige Lösung gebracht indem er den rechten Bruchterm rüber auf die Linke seite holt, dann den gemeinsamen Nenner bildet, das ganze dann auf einem Bruchstrich zusammen rechnet und am Ende dann mit dem Nenner multipliziert. Das konnte ich auch gut nachvollziehen, aber das muss doch auch irgendwie gehen wenn man da "über kreuz" multipliziert um die Nenner weg zu kriegen. Und das hab ich bis jetzt noch nicht hinbekommen, unter anderem weil ich nicht wirklich weiß, was wann mit den Nennern passiert...

Und wenn ich mir dann noch die b) der Aufgabe angucke graut es mir:
$\begin{eqnarray*} \frac{2x+1}{x-1} +\frac{2x+4}{1-x}+\frac{2x-9}{x^{2}-1}=\frac{4-8x}{1-x^{2}} \end{eqnarray*}$

So erstmal vielen Dank wer bis hier überhaupt gelesen hat smile

Und dann wäre ich sehr dankbar wenn sich jemand die Zeit nehmen würde mir bei meinem Problem zu helfen. Aber bitte jetzt nicht mit ausklammern oder anderen techniken kommen, auch wenn es viel leichter ist, aber ich würde gerne erstmal den umständlichen weg verstehen bevor ich mich dann an die "Tricks und kniffe" wage.
Probiert es einem Idioten zu erklären dann versteh ich das wahrscheinlich auch Wink

MfG Monkey101

14.03.2012, 18:55

Dopap

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RE: Hilfe bei Lösung von Bruchgleichungen gesucht
du hast zuviele Überkreuz-Ideen. Eine solche Regel gibt es nicht.

Ich kenne nur das Durchmultiplizieren mit dem Hauptnenner. Die Wirkung davon ist, dass alle Nenner wegen Kürzens "verschwinden".

probier das mal bei b.)

hier sind 2 Nenner das Negative von 2 anderen, d.h. wenn du dort Zähler und Nenner mit -1 multiplizierst dreht sich der Nenner, aus z.B. 1-x wird x-1 und der ist schon einmal vorhanden, das Ergebnis wäre dann

$\begin{eqnarray*} \frac{2x+1}{x-1} -\frac{2x+4}{x-1}+\frac{2x-9}{x^{2}-1}=\frac{8x-4}{x^{2}-1} \end{eqnarray*}$

jetzt gibt es nur noch $\begin{eqnarray*} x-1 \quad \text {\rm und}\quad x^2-1 \end{eqnarray*}$ als Nenner.

Wie lautet der Hauptnenner?

EDIT_______________________________________________

deine post ist zu lang! Die Antwort hätte dann auch epischen Umfang, und das war der Korrespondenzstil zu Zeiten des Briefes.

Tipp: eine knackige, schön geschriebene Aufgabe mit ein paar Zeilen zu deinen Überlegungen. Das reicht um in's Gespräch zu kommen.

14.03.2012, 21:11

Monkey101

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RE: Hilfe bei Lösung von Bruchgleichungen gesucht
Ok Danke für die Antwort und den Tipp ich werds mir merken smile

Ich weiß das dieses über Kreuz ding an sich keine Regel ist aber im Endeffekt passiert das ja genau so...
Ich würd nur gern wissen wann ich mit beiden Seiten multiplizieren kann und die Nenner wegfallen und wann sie nur einen gemeinsamen bilden.
Hab jetzt leider keine Zeit aber ich meld mich morgen nochmal...ich guck mir das auch morgen nochmal aus den Büchern an.

MfG Monkey101

15.03.2012, 00:35

Dopap

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wenn du schon auf Überkreuz-Multiplikation stehst, dann vorab Folgendes:

es muss Bruch = Bruch dastehen. Nichts Additives!

$\begin{eqnarray*} \rm \frac {Z_1}{N_1} = \frac {Z_2}{N_2} \Rightarrow Z_1N_2=Z_2N_1 \end{eqnarray*}$

was aber auch nicht optimal ist, wenn der Hauptnenner nicht das Produkt der Nenner ist.

Beispiel: $\begin{eqnarray*} \frac x 3 = \frac {5x-1}{5} \Rightarrow 5x=3(5x-1) \end{eqnarray*}$

ist in Ordnung. Bei

$\begin{eqnarray*} \frac x {12} = \frac {5x-1}{24} \end{eqnarray*}$ ist die Multiplikation mit 24= Hauptnenner viel kleiner wie "Überkreuz"

15.03.2012, 15:13

Monkey101

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Zitat:

Original von Dopap
wenn du schon auf Überkreuz-Multiplikation stehst, dann vorab Folgendes:

es muss Bruch = Bruch dastehen. Nichts Additives!

$\begin{eqnarray*} \rm \frac {Z_1}{N_1} = \frac {Z_2}{N_2} \Rightarrow Z_1N_2=Z_2N_1 \end{eqnarray*}$

was aber auch nicht optimal ist, wenn der Hauptnenner nicht das Produkt der Nenner ist.

Beispiel: $\begin{eqnarray*} \frac x 3 = \frac {5x-1}{5} \Rightarrow 5x=3(5x-1) \end{eqnarray*}$

ist in Ordnung. Bei

$\begin{eqnarray*} \frac x {12} = \frac {5x-1}{24} \end{eqnarray*}$ ist die Multiplikation mit 24= Hauptnenner viel kleiner wie "Überkreuz"

So da bin ich wieder ich hab heute Vormittag in der Mensa ma 2 Stunden aus nem Übungsbuch geübt und es ging super bis auf die letzten 5 Aufgaben...
Heißt bei dir "nicht optimal" nicht die geeignetste Lösung oder Falsch?
Naja vielleicht kommen wir noch drauf ich weiß nämlich einfach nicht was ich bei folgender Aufgabe falsch mache (ist bestimmt total offensichtlich):
$\begin{eqnarray*} \frac {x-3}{6} - \frac {x+2}{8} = 6 \end{eqnarray*}$
Ich bringe das jetzt beides auf einen Bruchstrich mit einem Hauptnenner dann steht da:
$\begin{eqnarray*} \frac {8\left(x-3\right)}{6\cdot8} - \frac {6\left(x+2\right)}{8\cdot6} = 6 \Rightarrow \frac {8x-24-6x+12}{48} = 6 \end{eqnarray*}$ Dann rechne ich weiter und erhalte:
$\begin{eqnarray*} \frac {2x-12}{48} = 6 \end{eqnarray*}$ Dann multipliziere ich die Nenner damit selbige wegfallen und bekomme:
$\begin{eqnarray*} 2x-12= 288 \end{eqnarray*}$ das dann umgestellt und ausgerechnet ergibt x=150 was leider falsch ist...
Wo genau liegt mein Fehler irgend nen Vorzeichen nit richtig mitgenommen oder geht die Gleichung so einfach nicht zu lösen (was ich komisch finden würde denn die anderen Aufgaben hab ich auf die gleiche weise richtig lösen können).
Danke schonmal vorab für die Hilfe.

MfG Monkey101

15.03.2012, 16:29

Dopap

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Zitat:

Original von Monkey101
$\begin{eqnarray*} \frac {8\left(x-3\right)}{6\cdot8} - \frac {6\left(x+2\right)}{8\cdot6} = 6 \Rightarrow \frac {8x-24-6x\color{red}- 12\color{black}}{48} = 6 \end{eqnarray*}$

1.) bitte nicht die ganze post zitieren.
2.) nicht optimal heisst, der gemeinsame Nenner ist unnötig gross, aber deswegen nicht falsch.
3.) üblicher Vorzeichenfehler in obiger Aufgabe.

15.03.2012, 17:07

Monkey101

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Ok Dankeschön jetzt wo du es sagst...
1) Ok merk ich mir smile

2) Es wäre also sinnvoller bei dem Beispiel die Brüche auf 15 zu erweiter und dann mit 15 zu multiplizieren oder wie war es gemeint?
3) Ich werd dann die anderen Aufgaben die ich falsch hab dementsprechend nochmal überprüfen und dann weiter rechnen und wenn ich wieder hänge werd ich mich wohl nochmal melden müssen^^

Ich bedanke mich bis hier,
MfG Monkey101

16.03.2012, 15:56

Monkey101

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So hat doch nit so lange gehalten...
Ich hab jetzt fast 100 Aufgaben gerechnet und bin eigendlich auch immer auf ein Ergebnis gekommen (soweit also alles gut smile

).
Dabei hab ich sogar probiert manche Aufgaben mal anders zu lösen (Gleicher Nenner etc.) Das hat mir bei einer Aufgabe allerdings Probleme bereitet:
$\begin{eqnarray*} \frac{5x+12}{6}- \frac{7x-9}{15}=7 \end{eqnarray*}$
Wenn ich normal (über kreuz) rechne komme ich auf das richtige Ergebnis. Jetzt wollte ich aber die Aufgabe auch anders lösen und dachte mir ich bringe die beiden Brüche auf den gleichen Nenner:
$\begin{eqnarray*} \frac{25x+60}{30}- \frac{14x-18}{30}=7 \end{eqnarray*}$
Jetzt kann ich ja beide Brüche auf einen Bruchstrich schreiben dann würde da stehen:
$\begin{eqnarray*} \frac{11x+42}{30}=7 \end{eqnarray*}$
Das ergibt allerdings etwas falsches...wenn ich aber anstatt "-18" eine "+18" oben hin schreibe komme ich auf das richtige Ergebnis...aber ich muss die Vorzeichen in dem Bruch doch garnicht drehen. Wäre schön wenn du mir das eben erklären könntest.

Und das Formel umstellen scheint mir noch Probleme zu bereiten...die Aufgabe lautet "Löse nach x auf":
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}+ \frac{1}{ax}+\frac{1}{bx}=c \end{eqnarray*}$
Jetzt fang ich an umzustellen:
$\begin{eqnarray*} \frac{ax+x}{ax^{2}}+ \frac{1}{bx}=c \Rightarrow \frac{abx^{2}+bx^{2}+ax^{2}}{abx^{3}}=c \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} abx^{2}+bx^{2}+ax^{2}=cabx^{3} \Rightarrow x^{2}\left(ab+b+a\right)=cabx^{3}\Rightarrow x^{2}=\frac{abcx^{3}}{ab+a+b} \end{eqnarray*}$
Wenn man jetzt "X" anstatt "X²" schreiben würde und die "X³" wegstreicht stimmt das Ergebnis. Ich weiß allerdings nicht wie ich das "X" auf dem langen Bruch raus kriege...

Und da ich das jetzt halbwegs kann könntest du mir zeigen wie man eventuell schneller voran kommt als "über kreuz" zu multiplizieren bei sowas?

Wie immer danke vorab.
MfG Monkey101

edit von sulo: Zeilenumbruch zur besseren Lesbarkeit eingefügt.

16.03.2012, 17:05

Monkey101

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Sorry für den Doppelpost aber zum editieren war ich zu langsam:
Ich hab jetzt nochmal die Vorkursaufgabe probiert und krieg sie immernoch nicht raus.
$\begin{eqnarray*} \frac{2x+1}{x-1} +\frac{2x+4}{1-x}+\frac{2x-9}{x^{2}-1}=\frac{4-8x}{1-x^{2}} \end{eqnarray*}$
Ich stelle zuerst um und erhalte:
$\begin{eqnarray*} \frac{2x+1}{x-1} +\frac{2x+4}{1-x}=\frac{4-8x}{1-x^{2}}-\frac{2x-9}{x^{2}-1} \end{eqnarray*}$
Da auf beiden Seiten jeweils der gleiche Nenner steht kann ich auf einem Bruchstrich zusammen fassen und erhalte:
$\begin{eqnarray*} \frac{4x+5}{x-1}=\frac{-10x-5}{1-x^{2}} \end{eqnarray*}$
Multipliziere mit den Nennern:
$\begin{eqnarray*} \left(4x+5\right)\left(x^{2}-1\right)=\left(-10x-5\right)\left(x-1\right) \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4x^{3}+5x^{2}-4x-5 = -10x^{2}+5x+5 \Rightarrow 4x^{3}+15x^{2}-9x=10 \end{eqnarray*}$
Jetzt könnte ich noch X ausklammern aber ich hab keinen schimmer wie ich auf das Ergebnis $\begin{eqnarray*} x=-\frac{8}{9} \end{eqnarray*}$ kommen soll besonders ohne pq-Formel...

Is heute wohl was mehr geworden ich bedanke mich für die mühe,
MfG Monkey101

edit von sulo: Zeilenumbruch zur besseren Lesbarkeit eingefügt.

16.03.2012, 19:38

Dopap

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{5x+12}{6}- \frac{7x-9}{15}=7 \end{eqnarray*}$
Wenn ich normal (über kreuz) rechne komme ich auf das richtige Ergebnis.

überkreuz ist nicht normal!

Zitat:

Jetzt wollte ich aber die Aufgabe auch anders lösen und dachte mir ich bringe die beiden Brüche auf den gleichen Nenner:
$\begin{eqnarray*} \frac{25x+60}{30} \color{red}-\color{black} \frac{14x-18}{30}=7 \end{eqnarray*}$

soweit richtig

Zitat:

Jetzt kann ich ja beide Brüche auf einen Bruchstrich schreiben dann würde da stehen:
$\begin{eqnarray*} \frac{11x+\color {red} 78}{\color {black}30}=7 \end{eqnarray*}$

nun, zum 1534 mal: ein Minus vor einem Bruchstrich ist wie ein Minus vor einer Klammer. Das ist die absolute Nr. 1 auf der Hitliste der Fehler.

----------------------------------------------------------------------------------

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x+1}{x-1} +\frac{2x+4}{1-x}=\frac{4-8x}{1-x^{2}}-\frac{2x-9}{x^{2}-1} \end{eqnarray*}$
Da auf beiden Seiten jeweils der gleiche Nenner steht kann ich auf einem Bruchstrich zusammen fassen und erhalte:
$\begin{eqnarray*} \frac{4x+5}{x-1}=\frac{-10x-5}{1-x^{2}} \end{eqnarray*}$

wieso ist $\begin{eqnarray*} 1-x=x+1 \end{eqnarray*}$ respektive $\begin{eqnarray*} 1-x^2=x^2-1 \end{eqnarray*}$ ?

Nur weil dieselben Summanden verwendet werden?
Statt OTTO darf ich TOTO in der Anschrift schreiben?
-------------------------------------------------------------------------
zum Rest: du machst zuviel mit "auf einen Nenner bringen" herum. Bei Gleichungen ist diese Technik nicht so empfehlenswert
Schau dir mal in Ruhe das Kapitel " Hauptnenner" im Buch an, dann sehen wir weiter...

17.03.2012, 18:03

Monkey101

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Stimmt da hast du recht...
Ich hab mir das mit dem Hauptnenner mal angeguckt so ganz steig ich da glaub ich noch nicht hinter zumindest kam bei der Vorkursaufgabe nur müll raus als ich es damit probiert hab (der Hauptnenner aus post Nr. 2 is doch $\begin{eqnarray*} x\left(x-1\right) \end{eqnarray*}$ oder?).
Dann hab ich es auch probiert in dem ich 2 der Brüche mit -1 erweitert sodass die Nenner diesmal die gleichen sind und habe weiter gerechnet da kam auch nur Müll raus.
Wenn ich einen gemeinsamen Nenner bilde komme ich dem richtigen Ergebnis am nächsten.
$\begin{eqnarray*} \frac {2x+1}{x-1} +\frac {2x-9}{x^{2}-1} = \frac {4-8x}{1-x^{2}} -\frac {2x-4}{1-x} \end{eqnarray*}$
Ich multipliziere einen gemeinsamen Nenner und erhalte:
$\begin{eqnarray*} \frac {2x^{3}+3x^{2}-13x+8}{x^{3}-x^{2}-x+1}=\frac {2x^{3}+12x^{2}-14x}{x^{3}-x^{2}-x+1} \end{eqnarray*}$
Multipliziere den Nenner damit er wegfällt und erhalte am Ende:
$\begin{eqnarray*} 3x\left(3x-9\right)=8 \end{eqnarray*}$
Jetzt weiß ich allerdings nicht wie ich auf $\begin{eqnarray*} -\frac {8}{9} \end{eqnarray*}$ kommen soll.
Ich weiß einfach nicht wie ich diese Aufgabe lösen soll wäre schön wenn du mir zeigen könntest wie ich auf das Ergebnis kommen kann...

Danke wieder vorab.
MfG Monkey101

17.03.2012, 19:05

Dopap

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angesichts der Aufgabe ist es ziemlich schwierig dir jetzt hier das volle Programm des Bruchrechnens mit Variablen beizubringen.
Allein der schreibtechnische Aufwand erscheint zu gross.

Dann gibt es wieder diese "kleine" Frage etc..

Da brauch ich mit einem Schüler mit persönlichem Kontakt ein paar Stunden.

Das kann ich hier nicht leisten unglücklich

--------------------------------------------------------

evtl. macht jemand Anderes weiter, oder du stellst eine kurze Frage oder Aufgabe.

18.03.2012, 16:08

Monkey101

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Mh ok schade dann werd ich mal einen meiner Mitstudenten fragen der die Aufgabe lösen konnte...
Ich bedanke mich trotzdem für die Zeit und mühe.
MfG Monkey101

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