Rotationsvolumen

14.03.2012, 21:44	Matadore	Auf diesen Beitrag antworten »
Rotationsvolumen Meine Frage: Hallo Leute, ich habe schon einige Aufgaben im Thema Integralrechnung, Schwerpunktsberechnung und Rotationsberechnung gerechnet. Hier habe ich eine Aufgabe die ich anders rechnen würde wo als die Lösung der Musterlösung. Die Aufgabe lautet; Gegeben ist ein Hyperbelstück y= $\begin{eqnarray} \sqrt{x^2+16} \end{eqnarray}$ Grenzen sind von 0 bis 3 . Durch die Rotation dieses Bogenstücks um die X- Achse des Koordinatensystems wird ein Drehkörper vom Volumen V, durch Rotation um die y- Achse ein zweiter Drehkörper vom Volumen V* erzeugt. Berechne beide Volumen. Meine Ideen: Vx habe ich berechnet und zwar : $\begin{eqnarray} pi \int_0^3 \! f(\sqrt{x^2+16}^2 ) \, dx \end{eqnarray}$ das war kein Problem nur jetzt kommt es um die Y-Achse Da habe ich wie folgt gerechnet: $\begin{eqnarray} pi \int_4^5 \! f(\sqrt{y^2-16}^2 ) \, dy \end{eqnarray}$ So nun dachte ich es sei fertig. In der Musterlösung zieht er noch folgendes von VY ab und zwar: $\begin{eqnarray} pi \int_0^5 \! f(3)^2 \, dy \end{eqnarray*}$ kann das stimmen?`woher kommen die 3? Danke im Vorraus:-)
15.03.2012, 00:18	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
deine beiden Integrale sind sehr fragwürdig. Wer oder was ist f? $\begin{eqnarray} V_x=\pi \int_0^3 y^2 \dd x \end{eqnarray}$ ist richtig. Rotation um die y-Achse: hier sind ( auch ) 2 Drehvolumina möglich. $\begin{eqnarray} V_y=\pi \int_4^5 x^2 ~\dd y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V_y=\pi \int_4^5 y^2-16~ \dd y \end{eqnarray}$ und fertig ist die obere plankonvexe Linse. Anscheinend wird noch ein Zylinder abgezogen, aber wie gesagt: f ist nicht definiert. Und warum V* und nicht $\begin{eqnarray} V_y \end{eqnarray}$ Vllt. dürften wir auch an der gesamten Aufgabe teilhaben?
15.03.2012, 09:07	Matadore	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja bitte ich habe die Klausr hochgeladen. Aufgabe 3 ist es Sorry wegen dem Index F, der Formeleditor hat sie eingefügt und ich hatte es übersehen
15.03.2012, 17:06	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} V=57\pi \end{eqnarray}$ auch bei mir. = Kühlturm waagrecht. $\begin{eqnarray} V^=\frac {13}{3} \pi \end{eqnarray}$ = plankonvexe Linsenscheibe $\begin{eqnarray} \eta = \frac {V}{V^}= \frac {171}{13} \end{eqnarray}$ Aufgabe V=: Wie gesagt, zur Rotation eines Kurvenstückes gehören auch die Geraden x=0 und x=3 und die x-Achse dazu um einen Vollkörper zu erzielen. Diese Fläche (*) könnte man aber auch um die y-Achse rotieren lassen, es enstünde ein Zylinder mit einer Mulde oben. Und dessen Volumen wäre $\begin{eqnarray} \rm V_{Zylinder}-V^* = \pi 3^2-V^* \end{eqnarray}$ daher das $\begin{eqnarray} \pi 3^2 \end{eqnarray}$ gut möglich, dass dieser Körper gemeint war. Korrekt muss es aber dann heissen ... durch Rotation desselben Flächenstückes (*) um die y -Achse ...

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