Überprüfen ob R reflexiv, symmetrisch, transitiv ist...

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wundi Auf diesen Beitrag antworten »
Überprüfen ob R reflexiv, symmetrisch, transitiv ist...
Meine Frage:
Sei und . Wir definieren die Relation durch

überprüfen Sie ob R reflexiv, symmetrisch, asymmetrisch, antisymetrisch, transitiv ist.

Meine Ideen:



Wenn es bis hierher stimmt, dann:

Die Relation ist meiner Meinung nach transitiv, antisymmetrisch, irreflexiv.

und NICHT: reflexiv, symmetrisch oder asymmetrisch.

Wie überprüfe ich nun die Eigenschaften oder zeige welche Eigenschaften die R nicht besitzt.

Danke!
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überprüfen ob R reflexiv, symmetrisch, transitiv ist...
Transitiv ist sie, jap, denn aus

und folgt mit Sicherheit .

Antisymmetrisch stimmt auch, denn ist und , dann folgt draus, dass x=y.

Aber warum sollte die Relation nicht reflexiv sein? verwirrt

Ist eine Menge denn keine Teilmenge von sich selbst?

Desweiteren wird die Relation auf der gesamten Potenzmenge definiert, zwei Elemente (Teilmengen von P(X)) stehen in Relation zueinander, wenn das eine Element in dem anderen enthalten ist.

Man sagt auch, die kleiner-gleich Relation erzeugt eine Halbordnung auf der Potenzmenge.
wundi Auf diesen Beitrag antworten »

ja, stimmt smile danke

somit ist R reflexiv und nicht irreflexiv.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überprüfen ob R reflexiv, symmetrisch, transitiv ist...
Schreib dir die Relation auch einmal vernünftig auf, welche Tupel sind darin enthalten?

Dein letzter Post ist dahingehend richtig chaotisch.


Deine Menge M:



Nun überlege, wie deine Relation ausschaut, sie enthält Tupel aus MxM, die Einträge dieser Tupel sind mit Sicherheit nicht nur einlementige Teilmengen.

So steht die leere Menge zu jeder anderen Menge in Relation, wir erhalten also folgende Tupel:



Die liegen alle in R.

Nun schaue, zu welchen Elementen das Element in Relation steht, also welche Tupel du erhälst, deren erster Eintrag ist usw.

Dann hast du deine gesamte Relation.

Andererseits kann man auch einfach die Definition der Teilmengenbeziehung benutzen und die Eigenschaften der Relation zeigen, ohne diese explizit aufzuschreiben, ich würde darauf aber erst einmal nicht verzichten, da deine darstellung der Relation doch recht konfus ist.
wundi Auf diesen Beitrag antworten »

somit(?):



aber wie überprüfe ich anhand dieser R, die Eigenschaften?

so z.B.:




danke!
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Die Elemente der Relation, die die leere Menge als ersten Eintrag haben habe ich dir doch schon aufgeschrieben, du sollst nun als nächstes die Tupel bestimmen, die als ersten Eintarg das Element {A} haben.

Deine Relation hat insgesamt 26 !!!! Elemente, also 26 Tupel, die 8 Tupel, die als ersten Eintrag die leere Menge enthalten habe ich dir aufgeschrieben.

Du sollst nun die Elmente der Relation bestimmen, die als ersten Eintrag das Element {A} enthalten, nun mach das mal.
 
 
wundi Auf diesen Beitrag antworten »

{A} ist enthalten in

{A}, {A,B}, {A,C}, {A,B,C}
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Na also, welche Elemente deiner Relation ergibt das? schreib das mal sauber auf, mache das gleiche für alle anderen Elemente von M.
wundi Auf diesen Beitrag antworten »

das Beispiel wurde jetzt in der VO gelöst.

Die R wurde überhaupt nicht behandelt, sondern nur der Beweis der drei Egenschaften.

Danke!
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überprüfen ob R reflexiv, symmetrisch, transitiv ist...
Das das gezeigt werden kann, ohne die Relation explizit aufzuschreibe habe ich bereits geschrieben:

Zitat:
Original von lgrizu
Andererseits kann man auch einfach die Definition der Teilmengenbeziehung benutzen und die Eigenschaften der Relation zeigen, ohne diese explizit aufzuschreiben, ich würde darauf aber erst einmal nicht verzichten, da deine darstellung der Relation doch recht konfus ist.


Aber wie gesagt, wenn man sich die Elemente einer doch recht "kleinen" Relation einmal anschaut kann man damit erst mal grundsätzlich üben, wie man Relationen als bestimmte Mengen überhaupt aufzufassen hat, welche Eigenschaften man "ablesen" kann etc.

Das sollte dir lediglich als Übung dienen, wie soll man sich später mit abstrakten Relationen (Verbänden zum Beispiel) auseinadersetzen, wenn man das im kleinen nicht visualisieren kann?
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