Stochastik "mindestens ein". Wie soll ich vorgehen?

15.03.2012, 12:34

PaulZ

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Stochastik "mindestens ein". Wie soll ich vorgehen?

Meine Frage:
Hallo liebe Matheboard-User!
Ich muss unbedingt eine Aufgabe lösen. Diese ist Vorraussetzung für eine Schulaufgabe die wir morgen schreiben. Ich bitte deshalb um möglichst schnelle Hilfe! Und zwar: Bei einem Multiple-Choice Test mit 10 Fragen gibt es jeweils 3 Antwortmöglichkeiten. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkleit, dass er !mindestens eine! Frage richtig beantwortet, wenn er blind Antworten wählt. (Es ist ein Laplace-Experiment, er wählt also jede Antwort mit der selben Wahrscheinlichkeit, ohne bestimmte Vorgehensweise)

Meine Ideen:
Jetzt habe ich zwar den Lösungsansatz, dass er 46 Möglichkeiten hat eine Antwort richtig zu haben, denn (R=richtig, F=falsch):

RFFFFFFFFF = 10 Möglichkeiten
RRFFFFFFFF = 9 Mgl.
RRRFFFFFFF = 8 Mgl.
RRRRFFFFFF = 7 Mgl.
RRRRRFFFFF = 6 Mgl.
RRRRRRFFFF = 5 Mgl.
RRRRRRRFFF = 4 "
RRRRRRRRFF = 3 "
RRRRRRRRRF = 2 "
RRRRRRRRRR = 1 "

Und das wird dann ja addiert, da es nicht voneinander Abhängig ist.
Aber jetzt kommt mein Problem: Bei 2 richtigen Antworten (Beispiel) kann müssen die 2 richtigen nicht aufeinanderfolgen! Sondern er kann ja auch die erste und die letzte Antwort richtig haben! Jetzt ist meine Frage: Wie rechne ich das aus? Und als 2. Anliegen: Er hat ja insgesamt eine Möglichkeit mehr wie die Wahrscheinlichkeit ist dass er eine Antwort richtig hat. Denn hat man alle Möglichkeiten mit richtigen Antworten durch, so bleibt ja nur noch die Möglichkeit "FFFFFFFFFF", dass er alle falsch hat. Deshalb ist meine Frage: Wieviele Antwortmöglichkeiten gibt es dann insgesamt? Ich hoffe ihr könnt meiner Frage einigermassen folgen, denn weder das Mathebuch noch mein Vater (Hat mathe studiert) konnten mir weiterhelfen.

Ist die Antwort wirklich so schwer? Oder bloß so simpel dass wir nicht draufkommen?

Bitte um schnelle Hilfe!

Liebe Grüße, Paul.

15.03.2012, 12:40

galoisseinbruder

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Hallo,

du hast schon das mindestens eine markiert. Wenn man das liest sollte man sofort an das Gegenereignis denken. Was ist hier das dazugehörige Gegenereignis?

Überleg dir auch noch wie hoch die Wahrscheiblichkeit ist eine Frage richtig/falsch zu beantworten.

15.03.2012, 12:55

storchlastig

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Account erstellt, deswegen anderer Name.
Hey, danke für diese schnelle Hilfe! Das Gegenereignis ist doch, dass höchstens 8 Antworten falsch sind? Aber ich kann mit dieser Angabe dann leider nichts mehr anfangen. Die Wahrscheinlichkeit eine Frage richtig zu beantworten ist, weil es ein Laplace Experiment ist, immer 1/3, und sie falsch zu beantworten, 2/3. Aber ich komme danach nicht mehr weiter Hammer

Hammer

Hilf mir mal bitte auf die Sprünge!

Grüsse, Paul

15.03.2012, 12:59

galoisseinbruder

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Die Wahrscheinlichkeiten stimmen schon mal.
Aber wie kommst du denn auf die 8 beim Gegenereignis.
Was ist denn überhaupt generell ein Gegenereignis?

15.03.2012, 13:07

storchlastig

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Naja, ein Gegenereignis ist doch wenn.. wenn z.B. das Ereignis ist: Höchstens 4 Autos wurden gestohlen - Dann ist doch das Gegenereignis: Mindestens 5 Autos werden gestohlen.. Und deswegen: Mindestens eine Frage richtig ist das Ereignis. Dann ist das Gegenereignis.. Höchstens 9 Fragen sind richtig? Oder? Weil es sind ja insgesamt 10. Ich steh grade echt aufm Schlauch. Was ist denn dein Lösungsansatz?

Grüsse, Paul. Freude

Freude

15.03.2012, 13:10

René Gruber

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Zitat:

Original von storchlastig
Naja, ein Gegenereignis ist doch wenn.. wenn z.B. das Ereignis ist: Höchstens 4 Autos wurden gestohlen - Dann ist doch das Gegenereignis: Mindestens 5 Autos werden gestohlen..

Richtig. Aber warum weichst du im folgenden davon ab? Denn das hier

Zitat:

Original von storchlastig
Mindestens eine Frage richtig ist das Ereignis. Dann ist das Gegenereignis.. Höchstens 9 Fragen sind richtig?

ist natürlich riesengroßer Unsinn: Das Gegenteil von "mindestens 1" ist "höchstens 0",
was gleichbedeutend mit "keine" ist.

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15.03.2012, 13:11

galoisseinbruder

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Das mit den Autos ist richtig. Hier ist aber dein Gegenereignis nach wie vor falsch.
Mindestens 1 richtige Antwort heißt 1,2,3, ... , 10 richtige Antworten.
Was ist das Gegenereignis?

15.03.2012, 13:17

storchlastig

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Ich hatte "keine" schon im Kopf, aber es erschien mir so unlogisch. Weil es ja 10 Fragen sind dachte ich "naajjaa, 10-1=9" weiss auch nicht was da in meinem Köpfchen falsch gewerkelt hat Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber was genau kann ich nun mit dem Gegenereignis anfangen bei dieser Aufgabe? Gibt es denn keine Formel für die Möglichkeiten mindestens 1 Antwort richtig zu haben? Denn in einer Schulaufgabe in der man nur 45 Minuten Zeit hat bräuchte man ja schon ~15min um bloß diese eine Aufgabe zu lösen, wenn man alle Ereignisse nacheinander im Kopf oder schriftlich durchgeht.

Grüsse, Paul.

15.03.2012, 13:23

René Gruber

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Zitat:

Original von storchlastig
Gibt es denn keine Formel für die Möglichkeiten mindestens 1 Antwort richtig zu haben?

Willst du wieder bei Null anfangen? Worüber haben wir denn gerade geredet? Forum Kloppe

Forum Kloppe

In Wahrscheinlichkeiten ausgedrückt:

P("mindestens eine Antwort richtig") = 1 - P("keine Antwort richtig")

Und dieses P("keine Antwort richtig") lässt sich recht einfach berechnen.

15.03.2012, 13:34

storchlastig

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Danke, das hat mir schonmal sehr weitergeholfen! Mit Zunge

Mit Zunge

Die Wahrscheinlichkeit "keine Antwort richtig" ist nämlich 1 einzige Möglichkeit von allen, nämlich "FFFFFFFFFF". Aber ich weiss immer nochnicht, wie viele Möglichkeiten ich insgesamt hab unglücklich

unglücklich

Seit mir nicht böse Hammer

Hammer

Wie kann ich das den nun berechnen? Ich habe 10 Fragen und jeweils 3 Antwortmöglichkeiten.. Geht das mit der Fakultät? => "10!" oder mit 3 hoch 10? Ich zerbreche mir schon seit ~1h den Kopf über diese Aufgabe

Grüsse, Paul.

15.03.2012, 13:38

René Gruber

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$\begin{eqnarray*} 3^{10} \end{eqnarray*}$ (Variationen, mit Zurücklegen)

15.03.2012, 13:46

storchlastig

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Aber wenn es 3 hoch 10 ( Wie schreibe ich das eigentlich als Formel, so wie Rene? Ich verstehe das noch nicht so ganz) ist, dann müssten die Quizfragen ja abhängig voneinander sein. Aber das sind sie doch nicht, oder? Also bei 3 hoch 10 sind es 59049 Möglichkeiten!

Wenn das stimmt, dann wäre die Wahrscheinlichkeit keine Antwort richtig zu haben 1/59049 und demensprechend wäre die Wahrscheinlichkeit mind. 1 Antwort richtig zu haben 59048/59049 und somit: 0,9999 und daher also 99,99% also sogut wie 1 oder?

15.03.2012, 13:49

René Gruber

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Wieso "abhängig"? Bei jeder der 10 Fragen hast du jeweils 3 Antwortmöglichkeiten, wo du bei einer konkreten Frage unabhängig von den anderen Fragen jeweils genau eine Möglichkeit ankreuzen darfst!

Im kombinatorischen Kontext:

Variation mit Zurücklegen für n=3 Antwortmöglichkeiten bei k=10 Fragen

15.03.2012, 13:52

storchlastig

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Recht hast du. Aber was meinst du mit "Variationen, mit Zurücklegen"?
Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.03.2012, 14:00

storchlastig

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Habs jetzt soweit:

$\begin{eqnarray*} 10^{3}=59049 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 59049-\frac{1}{59049}=\frac{59048}{59049}=0,9999=0,99% \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

Das einzige was ich noch nicht verstanden hab sind die "Variationen, mit Zurücklegen"?

Grüsse, Paul.

15.03.2012, 14:09

René Gruber

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Soll ich den Link NOCHMAL angeben? böse

böse

15.03.2012, 14:20

storchlastig

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Entschuldigung, dachte es wäre unterstrichen und kein Link Hammer

Hammer

Aber stimmt denn meine Antwort nun? Freude

Freude

15.03.2012, 14:24

René Gruber

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Wenn man die diversen Fehler und Ungenauigkeiten in

Zitat:

Original von storchlastig
$\begin{eqnarray*} 10^{3}=59049 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 59049-\frac{1}{59049}=\frac{59048}{59049}=0,9999=0,99% \end{eqnarray*}$

zu

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 3^{10}=59049 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{59049-1}{59049}=\frac{59048}{59049}=0{,}999983 = 99{,}9983% \end{eqnarray*}$

korrigiert, dann kommt es hin.

15.03.2012, 14:30

galoisseinbruder

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Ich misch mich nochmal kurz ein, bin aber sofort wieder weg:
Meines Erachtens ist die W-keit
$\begin{eqnarray*} 1- \frac{2^{10} }{3^{10}}=0,98 \end{eqnarray*}$ ,
denn die W-keit eine Frage falsch zu beantwort6en ist 2/3.

15.03.2012, 14:31

storchlastig

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Das tut mir leid, das waren nur Tippfehler, weil ich mich noch nicht mit "LaTeX" befasst habe.
ich meinte natürlich [3 hoch 10] und nicht [10 hoch 3]. Genauso wie ich 99,...% gemeint habe und nicht 0,99%. Herzlichen Dank für eure Hilfe ihr habt wahrscheinlich meine Schulaufgabennote gerettet Mit Zunge

Mit Zunge

Gott

Prost

Freude

15.03.2012, 14:36

storchlastig

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Zitat:

Original von galoisseinbruder
Meines Erachtens ist die W-keit
$\begin{eqnarray*} 1- \frac{2^{10} }{3^{10}}=0,98 \end{eqnarray*}$ ,
denn die W-keit eine Frage falsch zu beantworten ist 2/3.

Irritiert mich nicht schon wieder geschockt

geschockt

Was stimmt denn nun? Big Laugh

Big Laugh

15.03.2012, 14:37

René Gruber

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@galoisseinbruder

Hast vollkommen recht. Mach du mal weiter, denn ich bin durch storchlastig wohl völlig von der Rolle gekommen und hab die Anzahl der falschen Antwortmöglichkeiten pro Frage (zwei) mit der Anzahl der richtigen Antwortmöglichkeiten pro Frage (eine) verwechselt. Hammer

Hammer

@storchlastig

99,9983% ist also nicht die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine Frage richtig zu haben, sondern es die Wahrscheinlichkeit, nicht alle (= maximal 9) Fragen mit dieser Ratemethode richtig zu haben.

15.03.2012, 14:39

galoisseinbruder

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Da ich quasi schon aus der Haustür bin, überlasse ich dir die Ehre das zu erklären.

15.03.2012, 14:45

storchlastig

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Wie kommt ihr den jetzt auf das $\begin{eqnarray*} \frac{2^{10} }{3^{10} } \end{eqnarray*}$ ? Das verstehe ich nicht. Klar, es sind 2 falsche Möglichkeiten. Aber ich komme nicht auf den Zusammenhang. Tut mir wirklich leid für meine "Blödheit", aber ich bin erst in der 8. Klasse.

15.03.2012, 14:49

René Gruber

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Auch die Anzahl der günstigen Möglichkeiten für "keine Antwort richtig" musst du über diese Variationen berechnen: Die Kodierung

FFFFFFFFFF

kennzeichnet nämlich nicht die ganze Wahrheit - es gibt pro Frage nicht nur ein, sondern zwei verschiedene F. Somit hat man auch bei der Auswahl der 10 falschen Antworten pro Frage zwei Möglichkeiten, eine falsche Antwort zu wählen. Dann kommt man auf die von galoisseinbruder schon genannten

$\begin{eqnarray*} 1- \frac{2^{10}}{3^{10}} \end{eqnarray*}$

15.03.2012, 14:59

storchlastig

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Herzlichen Dank! Ich habs gepeilt! Natürlich, es ist ja keine 50/50 Chance Hammer

Hammer

Na dann! Danke euch, die Aufgabe ist gelöst Mit Zunge

Mit Zunge

Die Lösung ist also: 1- $\begin{eqnarray*} \frac{2^{10} }{3^{10} } \end{eqnarray*}$ bzw. 1 - 1024/59049 also 58025/59049 oder 0,9826584700841674 (Wenn man's genau nimmt) und somit letztendlich (gerundet)~98%

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