Skalarprodukt "injektiv" ?

15.03.2012, 14:01	holzhammer	Auf diesen Beitrag antworten »
Skalarprodukt "injektiv" ? Meine Frage: Hallo, ich arbeite gerade, mehr oder weniger erfolgreich, zur Klausurvorbereitung, ein Funktionalanalysis Skript durch. Aktuelles Thema: Isometrische und unitäre Operatoren. Ich bin dabei über eine Randnotiz gestolpert, welche mir unklar ist: $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ sei ein isometrischer Operator, also mit der Eigenschaft: $\begin{eqnarray} \forall f \in H: \Vert Tf \Vert = \Vert f \Vert \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ der zugehörige Hilbertraum ist. Nun ist $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ offenbar injektiv, da der Kern trivial ist, und es gilt $\begin{eqnarray} (f,g)=(Tf, Tg) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} (\cdot , \cdot ) \end{eqnarray}$ das Skalarprodukt von $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ ist. Eine Notiz sagt nun folgendes: $\begin{eqnarray} (f,g)=(Tf,Tg) = (f, TTg) \Rightarrow I = TT \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ Identität und $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ der adjungierte Operator zu T ist. T ist beschränkt, da isometrisch, also existiert genau ein solch adjungierter Operator, aber mir ist nicht klar, wie die Folgerung zustande kommt. Meine Ideen:* $\begin{eqnarray} (f,g) = (f, TTg) \end{eqnarray}$ lässt sich ja auch nur geringfügig umformen, zu zum Beispiel: $\begin{eqnarray} (f,g-TTg) = 0 \end{eqnarray}$ . Aber auch hier komme ich nicht weiter. Lieben Gruß, holzhammer
15.03.2012, 19:57	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Wenn für alle $\begin{eqnarray} f,g\in H \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} (f,g-T^\ast Tg) = 0 \end{eqnarray}$ , dann haben wir insbesondere $\begin{eqnarray} \Vert g - T^\ast T g \Vert^2 = (g - T^\ast T g , g - T^\ast T g ) = 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} g\in H \end{eqnarray}$ (setze $\begin{eqnarray} f = g - T^\ast T g \end{eqnarray}$ ), d.h. ...? Gruss
18.03.2012, 22:06	holzhammer	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich. . Dann picke ich mir einfach den einen. Es gilt ja \|\|f\|\| = 0 <=> f = 0 und dann bin ich an jener Stelle schon fertig. Vielen Dank!

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