Radon-Nikodym Ableitung bestimmen

15.03.2012, 14:22

StAnger_

Radon-Nikodym Ableitung bestimmen

Ich bräuchte Hilfe beim Verständnis einer Lösung!

Aufgabe:
Auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ die Standardnormalverteilung und $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ die Exponentialverteilung mit Parameter 1. Gilt $\begin{eqnarray*} P \ll Q \end{eqnarray*}$ (P absolutstetig bzgl. Q)? Gilt $\begin{eqnarray*} Q \ll P \end{eqnarray*}$ ? Berechne jeweils ggf. die Radon-Nikodym Ableitung.

Lösung:

1) $\begin{eqnarray*} P \not\ll Q \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} P(\mathbb R^{-})>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Q(\mathbb R^{-})=0 \end{eqnarray*}$
Das ist mir noch klar, weil die Exponentialverteilung ja nur für nicht-negative Werte definiert ist.

2) $\begin{eqnarray*} Q \ll P \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} Q \ll \lambda \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda \ll P \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \frac{dP}{d\lambda} >0 \end{eqnarray*}$
Also ich denke $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ soll die Gleichverteilung sein, aber ich versteh nicht wie man auf diese Ergebnisse kommt.

3) $\begin{eqnarray*} \frac{dQ}{dP} = \frac{dQ}{d\lambda} \left(\frac{dP}{d\lambda}\right)^{-1} = e^{-x} \cdot 1_{[0,\infty)} \cdot \frac{1}{e^{-\frac{x^2}{2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}} \end{eqnarray*}$
Hier versteh ich wieder nicht, wie man genau die Quotienten bildet und somit auf die Ergebnisse kommt.

15.03.2012, 14:32

René Gruber

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Zitat:

Original von StAnger_
Also ich denke $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ soll die Gleichverteilung sein

Nein, $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ kennzeichnet hier kein Verteilungs- sondern das Lebesgue-Maß auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Nur damit ergeben die dann folgenden Ausführungen Sinn.

15.03.2012, 14:49

StAnger_

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Könntest du mir den Sinn dahinter auch erklären?

15.03.2012, 14:54

René Gruber

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Zitat:

Original von StAnger_
Könntest du mir den Sinn dahinter auch erklären?

Steht doch alles bei dir da:

Die Rechnungen basieren auf den beiden Wahrscheinlichkeitsdichten $\begin{eqnarray*} \frac{dP}{d\lambda} \end{eqnarray*}$ der Normalverteilung und $\begin{eqnarray*} \frac{dQ}{d\lambda} \end{eqnarray*}$ der Exponentialverteilung. Denn die Dichte einer stetigen Verteilung ist ja nichts anderes als die Radon-Nikodym-Ableitung des zugehörigen Verteilungsmaßes nach dem Lebesgue-Maß.

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