endliche separable Körpererweiterung - was verstehe ich falsch? |
| 15.03.2012, 15:44 | latingirl | Auf diesen Beitrag antworten » |
| endliche separable Körpererweiterung - was verstehe ich falsch? Folgender Satz beschäftigt mich: Sei L|K eine endl. separable Körpererweiterung. Dann ex. eine endl. Körpererweiterung E|L so, dass E|K eine Galois-Erweiterung ist. Nun steht im Beweis: "Es gilt L=K(a_1,...,a_t) und das Min.polynom m_j von a_j über K ist separabel." Soweit so gut - das bedeutet doch, dass mein Min.polynom m_j in versch. (!) Linearfaktoren über L zerfällt, d.h. alle Nullstellen des Min.polynoms liegen in L. Und das gilt für alle Min.polynome m_j!!! Ein paar Zeilen weiter heißt es: "Der Zerfällungskörper E von f (f ist Produkt der versch. Polynome in Liste m_1, ..., m_t) über L ist auch ein Zerfällungskörper von f über K." Nun ist bei mir der Zerf.körper eines Polynoms so definiert, dass wenn n_1, ..., n_k die Nullstellen von f sind, dass dann gilt: E = L(n_1,...,n_k). Das Polynom f besitzt ja nur versch. Nullstellen (klar!) n_1, ..., n_k und diese liegen ja, wie ich im Absatz darüber erörtert habe, alle in L. Für mich bedeutet das also: E = L !!! Wie kann es also eine Körpererweiterung E|L geben??? Iwas verstehe ich falsch! Bitte löst mein Problem auf!!! DANKE! |
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| 15.03.2012, 17:01 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: endliche separable Körpererweiterung - was verstehe ich falsch? hallo latingirl, da kann ich dir weiterhelfen. Das problem ist, dass eine galoiserweiterung auch noch die eigenschaft "normal" haben muss, und das ist bei einer endlichen und separablen erweiterung nicht automatisch der fall, normal heisst, das alle nullstellen von von dem jeweiligen minimalpolynom der erweiterten elemente in der erweiterung liegen müssen. Z.B. ist die erweiterung Q(3.wurzel aus 5) endlich und separabel, das minimal- polynom ist x^3-5, aber nicht normal, man kann aber ein weiteres element hin- zuadjungieren, so das die sache galoisch wird. |
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| 15.03.2012, 17:13 | latingirl | Auf diesen Beitrag antworten » |
Aha! VIELEN DANK! |
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