Ungleichung mit Cos

20.01.2007, 14:24

Ungleichung mit Cos

hi

Ich habe festgestellt, dass wenn ich den Definitionsbereich für ,z.B.
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{1-cos(x) } \end{eqnarray*}$
bestimmen will, sich das Vorzeichen bei der Ungleichung umdreht:

$\begin{eqnarray*} 1-cos(x)\geq0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos(x)\leq1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x\geq arccos1 \end{eqnarray*}$

Jetzt ist die Frage, warum es sich umdreht und wann ich sowas merke, also bei welchen Werten es sich umdreht.

Wenn ich z.B. das habe

$\begin{eqnarray*} 1+cos(x)\geq0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos(x)\geq-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x\geq arccos-1 \end{eqnarray*}$

Dann dreht es sich nicht um. Also es muss an der Achsensymmetrie liegen, aber kann mir einer genau erklären, warum daran?

20.01.2007, 14:28

tigerbine

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RE: Ungleichung mit Cos
$\begin{eqnarray*} 1-cos(x)\geq0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 \geq cos(x) \Leftrightarrow cos(x) \leq 1 \end{eqnarray*}$

20.01.2007, 14:31

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Habs oben editiert
Nun warum ist das so?

20.01.2007, 14:34

tigerbine

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Ich verstehe die FRage nicht?

Bei Addition/Subtraktion bleibt das Ungleichheitszeichen gleich. Dann habe ich es nur einmal von links nach rechts, und dann von rechts nach links geschrieben. Da ist doch nix bei.

1 "größerg" cosinus <=> cosinus "kleinerg" 1

Was ist daran unklar?

Du hättest es auch so schreiben können

$\begin{eqnarray*} 1-cos(x)\geq0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -cos(x) \geq -1 \end{eqnarray*}$ mal (-1) - Das zeichen dreht sich um

$\begin{eqnarray*} cos(x) \leq 1 \end{eqnarray*}$

20.01.2007, 14:46

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Stimmt du hast recht.
Aber jetzt ist es noch rätselhafter, denn bei folgender geht es wirklich nicht:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{ 1-3cos(x) } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1-3cos(x)\geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos(x)\leq 0,33 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x\geq arccos(0,33) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h(x)=\sqrt{1+3cos(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1+3cos(x)\geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos(x)\geq -0,33 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x\leq arcos(-0,33) \end{eqnarray*}$

Warum dreht sich das Ungleichzeichen um. Warum ist das so? Warum geht es beim obigen Beispiel nicht? Was ist der Grund?

20.01.2007, 14:51

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{ 1-3cos(x) } \end{eqnarray*}$ Definiert für:

$\begin{eqnarray*} 1-3cos(x)\geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -3cos(x)\geq -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos(x)\leq \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Bis dahin noch d'daccord.

nun ist der Cosinuns eine 2pi-periodische Funktion, die selbst auf dem Intervall [0,2pi] nicht bijektiv ist.

Wie kommst Du jetzt darauf, dass sich bei der Berechnung des Urbildes, das Ungleichheitszeichen ändert?

20.01.2007, 15:03

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Einfach durch Probe! Und man sieht es eindeutig in der Zeichnung.
Probier es einfach aus(oder siehe Zeichnung)

Aber ich verstehe nicht, warum sich das umdreht. Das ist die Frage.

20.01.2007, 15:11

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Das hatten wir doch letztens erst:

Definitionsbereich einer trig. und Wurzelfunktion

Hast du in zwei, drei Tagen alles vergessen? Mir irgendwie unverständlich. unglücklich

20.01.2007, 15:54

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Ich habe mir gedacht, dass du darauf antwortest Big Laugh

Jo, das hatten wir und du meintest wegen dem Monotonieverhalte, aber keiner hatte mir mehr geantwortet (bald Klausur).

Ich habe mir intensiv Gedanken drüber gemacht.
Mit der Sinusfunktion muss es so sein:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{1+2sin(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1+2sin(x)\geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sin(x)\geq -0,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x\geq arcsin-0,5 \end{eqnarray*}$

Es bleibt gleich (da würde deine Aussagen mit dem Monotonieverhalten noch zustimmen, weil Sinus bei -0,5 steigt)

$\begin{eqnarray*} h(x)=\sqrt{1-2sin(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1-2sin(x)\geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sin(x)\leq 0,5 \end{eqnarray*}$

Hier würde es sich auch nicht umdrehén, aber da würde auch deine Aussage zutreffen.
Aber die Frage ist jetzt nun: Warum ist das so? Warum liegt es am Monotonieverhalten? Kannst du mir das noch bitte beantworten? Ich habe gehofft, dass mir einer diese Antwort hier gibt

20.01.2007, 16:12

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Ich wusste ja nicht, dass ich jede einzelne Kleinigkeit ausbreiten muss. Ein wenig Grundwissen über Monotonie habe ich schon angenommen. Ok, dann ein kleiner Exkurs dazu:

Wenn man eine streng monoton wachsende Funktion hat, wie z.B. $\begin{eqnarray*} f(x)=\sin(x) \end{eqnarray*}$ eingeschränkt auf das Intervall $\begin{eqnarray*} D=\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] \end{eqnarray*}$ , dann gilt für $\begin{eqnarray*} x_1,x_2\in D \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} x_1<x_2 \quad\Longleftrightarrow\quad f(x_1)<f(x_2) \end{eqnarray*}$

Man beachte den Rückwärtspfeil!!! Man kann's wegen der Umkehrbarkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ von mir aus auch so schreiben, indem man $\begin{eqnarray*} y_k=f(x_k) \end{eqnarray*}$ betrachtet:

$\begin{eqnarray*} y_1<y_2 \quad\Longleftrightarrow\quad f^{-1}(y_1)<f^{-1}(y_2) \end{eqnarray*}$

Hier gilt $\begin{eqnarray*} f^{-1}(y)=\arcsin(y) \end{eqnarray*}$ . Und genau das kannst du anwenden, wenn du sorgfältig die Intervalleinschränkung beachtest.

------------------------------

Für streng monoton fallende Funktionen, also z.B. $\begin{eqnarray*} f(x)=\sin(x) \end{eqnarray*}$ eingeschränkt auf das Intervall $\begin{eqnarray*} D=\left[ \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right] \end{eqnarray*}$ dasselbe in grün: Für $\begin{eqnarray*} x_1,x_2\in D \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} x_1<x_2 \quad\Longleftrightarrow\quad f(x_1)>f(x_2) \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} y_1>y_2 \quad\Longleftrightarrow\quad f^{-1}(y_1)<f^{-1}(y_2) \end{eqnarray*}$ .

Natürlich sollte man beachten, dass für dieses $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ hier $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ nicht einfach der Arcussinus ist! Sondern $\begin{eqnarray*} f^{-1}(y) = \pi-\arcsin(y) \end{eqnarray*}$ .

20.01.2007, 17:29

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Das Problem liegt nicht beim Grundwissen der Monotonie(, denn das beherrsche ich)
Bei einem Fall würde deine Aussage nicht zu treffen (die habe ich vergessen zu erwähnen)

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{1+3cos(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1+3cos(x)\geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos(x)\geq -\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Wie verhält sich Kosinus bei -1/3 ?

Es ist streng monoton steigend und d.h., dass sich das Ungleichzeichen nicht umändert:

$\begin{eqnarray*} x\geq arccos(-0,33) \end{eqnarray*}$

Aber das ist falsch, denn siehe Plotter

x muss kleiner gleich das Ergebnis sein!

Hoffentlich findest, du jetzt den Denkfehler.

20.01.2007, 18:35

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Zitat:

Original von PG
Das Problem liegt nicht beim Grundwissen der Monotonie(, denn das beherrsche ich)

Das bezweifle ich. Dein letzter Beitrag beweist es wieder:

Zitat:

Original von PG
Wie verhält sich Kosinus bei -1/3 ?

Es ist streng monoton steigend

Man muss nur den Plot ansehen, und weiß, dass du schon wieder ungenau bist - wozu schreibe ich mir eigentlich die Finger wund???

Im Bild ist der Kosinus streng monoton wachsend im Intervall $\begin{eqnarray*} [-\pi,0] \end{eqnarray*}$ , im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,\pi] \end{eqnarray*}$ ist er dagegen streng monoton fallend.

Das ist schon mal der erste dicke Fehler. Aber gut, reden wir über das erste Intervall, also über die eingeschränkte Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = \cos(x),\qquad x\in [-\pi,0] \end{eqnarray*}$

Wann gilt jetzt in diesem Intervall $\begin{eqnarray*} f(x)\geq -\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ ? Nun, wegen des "streng monoton wachsend" für $\begin{eqnarray*} x\geq f^{-1}\left( -\frac{1}{3} \right) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kommt der zweite dicke Fehler: Du nimmst einfach ohne Nachdenken an, dass $\begin{eqnarray*} f^{-1}(y)=\arccos(y) \end{eqnarray*}$ ist. Falsch gedacht - in diesem Intervall ist nämlich $\begin{eqnarray*} f^{-1}(y)=-\arccos(y) \end{eqnarray*}$ .

Nochmal zum Mitschreiben:

Zitat:

Die Funktionen

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sin(x),\quad x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} g(x) = \cos(x),\quad x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

besitzen beide keine Umkehrfunktionen, einfach weil beide nicht injektiv sind!

Zitat:

Die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sin(x),\quad x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] \end{eqnarray*}$

besitzt die Umkehrfunktion

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(y) = \arcsin(y),\quad y\in\left[-1,1\right] \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Die Funktion

$\begin{eqnarray*} g(x) = \cos(x),\quad x\in\left[0,\pi\right] \end{eqnarray*}$

besitzt die Umkehrfunktion

$\begin{eqnarray*} g^{-1}(y) = \arccos(y),\quad y\in\left[-1,1\right] \end{eqnarray*}$ .

Für alle anderen Intervalle solltest du erstmal die Symmetrien sorgfältig checken, bevor du irgendwelche unüberlegten Aussagen tätigst.

So, und jetzt reicht's mir erstmal.

20.01.2007, 21:03

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Du hast mir viel geholfen
Danke

Übrigens:

Zitat:

Original von PG
Wie verhält sich Kosinus bei -1/3 ?

Damit habe ich nicht gemeint, dass ich nicht das Monotonieverhalten verstehe, sondern das war eine rhetorische Frage. Aber natürlich muss man das Monotonieverhalten im Intervall angeben- da hattest du Recht!

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