Schnittgerade von 2 Ebenen (Normalenform)

16.03.2012, 07:46

Helio20

Schnittgerade von 2 Ebenen (Normalenform)

Guten Morgen Matheboard,

ich habe 2 Ebenen in Koordinatenform gegeben:

$\begin{eqnarray*} x_{1} - 2x_{2} + 2x_{3} +6 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x_{1} - x_{2} - 2x_{3} -3 = 0 \end{eqnarray*}$

Daraus soll ich die Schnittgerade berechnen, dass hab ich so noch nie gemacht. Kenne nur das schneiden zweier Ebenen in Parameterform und in die kann ich aus den gegebenen Gleichungen nicht zurückrechnen.
Wie kann ich denn hier dran gehen?

Vielen Dank euch!

16.03.2012, 07:53

lgrizu

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RE: Schnittgerade von 2 Ebenen (Normalenform)
Welche Verfahren kannst du, um den SChittpunkt von Geraden zu bestimmen?

16.03.2012, 07:55

Helio20

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In der Regel wird gleichgesetzt und dann die Variablen ermittelt. Dann eine der Variablen in die entsprechende Geradengleichung einsetzen. -> Schnittpunkt.

16.03.2012, 08:00

lgrizu

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Kennst du das sogenannte Additionsverfahren?

Das kannst du hier auch einfach anwenden.

16.03.2012, 08:04

Helio20

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Klar kann ich das, Gaußscher Algorithmus auch, aber ich dachte, wenn ich 3 Variablen berechnen möchte, brauch ich auch 3 Gleichungen.
Ich krieg hier ja nicht auf einmal 2 Variablen eliminert....
Übersehe ich was?

16.03.2012, 08:08

lgrizu

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Wenn du eine eindeutige Lösung haben möchtest, jap, dann benötigt man genau so viele unterschiedliche Gleichungen wie Unbekannte. Die Frage ist, ob eine Gerade eine eindeutige Lösung eines LGS ist, wohl eher nicht....

Gauß ist das Mittel der Wahl und eine Unbekannte ist zu parametrisieren.

16.03.2012, 08:18

Helio20

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Da hast du Recht, eine Gerade ist keine eindeutige Lösung Augenzwinkern

Ich krieg momentan nicht mal 2 Variablen eliminiert...

16.03.2012, 08:20

lgrizu

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Nein, es werden auch nicht zwei eliminiert, sondern eine. eine weitere wird parametrisiert und nach der verbleibenden wird aufgelöst.

Nun mach ertst mal einen Schritt mit Gauß.

16.03.2012, 08:28

Helio20

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Sodala dann komm ich auf:

$\begin{eqnarray*} x_{2} = 1 + x_{1} \end{eqnarray*}$

Dass ist jetzt meine Gerade? Gleichzusetzen mit $\begin{eqnarray*} y = x + 1 \end{eqnarray*}$

16.03.2012, 08:37

lgrizu

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Nein, das ist nicht deine Gerade, du hast eine Gerade im dreidimensionalen, deine Funktionsgleichung ist nur eine Funktion von IR nach IR.

Nun setze einmal $\begin{eqnarray*} x_1= \lambda \end{eqnarray*}$ , das ist unser Parameter.

Wir haben dann $\begin{eqnarray*} x_2=1+ \lambda \end{eqnarray*}$ .

Nun benutzen wir noch die Glecihung $\begin{eqnarray*} x_1-2x_2+2x_3=-6 \end{eqnarray*}$ und stellen x_3 in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ dar.

16.03.2012, 09:31

Helio20

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Jetzt hab ichs verstanden, eine Variable wird durch das Lambda ersetzt, damit ist die schon mal weg da sie parametrisiert wird wie du sagst.

Die anderen beiden Gleichungen bau ich so um, dass ich immer "x = ...." stehen habe wobei rechts nur noch Lambda auftauchen darf.

Dann einfach Zeilenweise in die "leere" Geradengleichung eines IR3 einsetzen!

$\begin{eqnarray*} x=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + m * \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

16.03.2012, 10:15

lgrizu

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Das Vorgehen ist richtig. Freude

Aber:

Du hast noch einen Vorzeichenfehler:

$\begin{eqnarray*} 2x_3=-6-x_1+2x_2 \end{eqnarray*}$

Einsetzen von $\begin{eqnarray*} x_1= \lambda \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=1+ \lambda \end{eqnarray*}$ liefert:

$\begin{eqnarray*} 2x_3=-4 + \lambda \end{eqnarray*}$

16.03.2012, 11:09

Helio20

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Zitat:

Original von lgrizu
Das Vorgehen ist richtig. Freude

Vielen Dank dir!!

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