Wachstumsfunktion

20.01.2007, 13:51

LowDepth

Wachstumsfunktion

Hallo, ich habe dezente Probleme bei folgender Aufgabe:

Im Jahr 2000 leben in einer Stadt 10000 Menschen. Jährlich kommen 1% durch Geburtenüberschuss hinzu und 100 Menschen durch Zuwanderung. B(t) sei die Anzahl Menschen im Jahr 2000 + t.
a) Stellen Sie eine DGL der Form $\begin{eqnarray*} B'(t)=\alpha \cdot B(t) + \beta \end{eqnarray*}$ für B auf mit geeigneten Konstanten $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$
b) Besteimmen Sie die Lösung B(t) der DGL zur Anfangswertbedingung B(0)=10000.

Ich komme auf die folgende Gleichung:
(Grundgedanke: $\begin{eqnarray*} B(t+dt)-B(t)=(B(t)*0,01+100)*dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B(t)= C * e^{0,01*t}-10000 \end{eqnarray*}$ , wobei sich C bei mir durch die AWB zu 20000 ergibt. Leider scheint diese Gleichung nicht zu stimmen, weil ich mir mal "zu Fuß" den Bevölkerungsstand nach 4 Jahren ausgerechnet habe und es eben nicht passt.

Wo häng ich?

Gruß

21.01.2007, 00:40

Abakus

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RE: Wachstumsfunktion
Wo passt es denn nicht ?

Natürlich ist eine jährliche Wachstumsrate von 1 % etwas anderes als eine "stetige" Wachstumsrate von 1 %. Wenn du wirklich am Ende des Jahres 1 % Wachstum haben willst, musst du als Wachstumsfaktor $\begin{eqnarray*} \alpha = \ln(1.01) \end{eqnarray*}$ wählen.

Also ist zunächst die DGL mit geeigneten Konstanten aufzustellen.

Grüße Abakus smile

21.01.2007, 12:05

mYthos

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RE: Wachstumsfunktion
Die Frage ist zunächst einmal, ob die 100 Menschen, die jährlich durch Zuwanderung hinzukommen, ebenfalls an der Geburtenrate teilnehmen. Danach wäre die Gleichung, die im Grundgedanken aufgestellt wurde, richtig.
Dagegen spricht jedoch die bereits in der Angabe vorgegebene - etwas andere - Differentialgleichung. Dabei ist $\begin{eqnarray*} \beta = 100 \end{eqnarray*}$ der jährlich konstante Zuwachs.

Jedenfalls ist deine Lösung für B(t) nicht richtig.

Warum $\begin{eqnarray*} \alpha = \ln 1.01 \end{eqnarray*}$ zu wählen ist, kann erst aus der Lösung der (zugehörigen homogenen) Differentialgleichung begründet werden:

$\begin{eqnarray*} B'(t) = \alpha\cdot B(t) \end{eqnarray*}$

Die Lösung dieser Diff.gl. wurde - auch hier in diesem Board - schon öfters gezeigt (Trennung der Variablen), und stellt in dieser Aufgabe sicher nicht das Problem dar:

$\begin{eqnarray*} B_h = C \cdot e^{\alpha t} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} e^{\alpha \cdot 1} = 1,01 \end{eqnarray*}$ sein muss, folgt $\begin{eqnarray*} \alpha = \ln 1,01 \end{eqnarray*}$

Nun können wir die inhomogene Differentialgleichung für B aufstellen:

$\begin{eqnarray*} B^{'}(t) = \alpha B(t) + \beta \end{eqnarray*}$

, von der wir die Lösung $\begin{eqnarray*} B_h \end{eqnarray*}$ der zugehörigen homogenen schon wissen. Eine partikuläre Lösung sei $\begin{eqnarray*} B_p(t) \end{eqnarray*}$ , daher hat die allgemeine Lösung $\begin{eqnarray*} B_t \end{eqnarray*}$ die Form

$\begin{eqnarray*} B(t) = B_h(t) + B_p(t) \end{eqnarray*}$

[--- EDIT ---:

Nach der Methode der Variation der Konstanten setzen wir $\begin{eqnarray*} B_p(t) = C_p(t)e^{\alpha t} \end{eqnarray*}$

Durch Einsetzen in die inhomogene Gleichung und anschließender Integration erhalten wir $\begin{eqnarray*} C_p(t) = -\frac{\beta}{\alpha}e^{-\alpha t} \end{eqnarray*}$ und schließlich $\begin{eqnarray*} B_p(t) = -\frac{\beta}{\alpha} \end{eqnarray*}$

--- EDIT ---]

Kannst du dies nun zu Ende führen?

mY+

21.01.2007, 15:57

LowDepth

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Eine allgemeine Lösung der DGL habe ich:

$\begin{eqnarray*} B(t)=C\cdot e^{\alpha\cdot t}- \frac {\beta}{\alpha} \end{eqnarray*}$
Mein Problem ist eher die Bestimmung von Alpha und Beta

Nach den Ratschlägen, die ich bisher von euch bekommen habe müsste doch $\begin{eqnarray*} B(t)=C\cdot e^{ln(1,01)\cdot t} - \frac {100}{ln(1,01)} \end{eqnarray*}$ die Lösung sein, oder? C ergibt sich ja dann aus der AWB zu etwa 20049,917...

Diese Gleichung scheint aber auch nicht zu stimmen.

Gruß

21.01.2007, 17:41

Abakus

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Zitat:

Original von LowDepth
Eine allgemeine Lösung der DGL habe ich:

$\begin{eqnarray*} B(t)=C\cdot e^{\alpha\cdot t}- \frac {\beta}{\alpha} \end{eqnarray*}$
Mein Problem ist eher die Bestimmung von Alpha und Beta

Im Moment hast du die DGL noch nicht, diese solltest du zuerst einmal aufstellen (mit den konkreten Zahlen, damit wir über dieselbe DGL reden).

Zitat:

Nach den Ratschlägen, die ich bisher von euch bekommen habe müsste doch $\begin{eqnarray*} B(t)=C\cdot e^{ln(1,01)\cdot t} - \frac {100}{ln(1,01)} \end{eqnarray*}$ die Lösung sein, oder? C ergibt sich ja dann aus der AWB zu etwa 20049,917...

Du solltest die Lösung bzw. die Parameter schon konkret ausrechnen und nicht raten. Wenn du eine Lösungsformel verwendest, gib die Parameter an und was du wie eingesetzt hast. Dann lässt sich verfolgen, wo es hakt.

Aber zunächst: erst die DGL aufstellen und hinschreiben.

Grüße Abakus smile

21.01.2007, 19:04

LowDepth

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Dann hoffe ich mal, dass es morgen in meiner Semesterprüfung nicht dran kommt. Ich steige da jedenfalls noch nicht durch. Werde mich wohl erst nach der Prüfungszeit wieder damit beschäftigen.

Gruß und danke so weit.

22.01.2007, 01:57

mYthos

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Hi,

woraus schließt du, dass die Funktion

$\begin{eqnarray*} B(t)=C\cdot e^{ln(1,01)\cdot t} - \frac {100}{ln(1,01)} \end{eqnarray*}$

nicht stimmt? Ich habe im Endeffekt dasselbe Ergebnis. Statt $\begin{eqnarray*} e^{ln(1,01)\cdot t} \end{eqnarray*}$ kannst du natürlich gleich $\begin{eqnarray*} 1,01^t \end{eqnarray*}$ schreiben.

Ich habe leider im vorigen Beitrag ganz zum Schluß was effektiv Falsches stehen gehabt, sorry! Ich hab's editiert. Im Grunde ging es dir jedoch offenbar gar nicht um die Auflösung der Diff.gl., sondern um die Berechnung der Konstanten.

Ich für meinen Teil finde aber die Lösung der Diff.gl. essentieller. Ich löse diese auch lieber zuerst allgemein und belege dann erst die Konstanten. Bei $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ muss man das ja auch zuerst machen (man darf nicht von vornherein annehmen, dass es ln(1,01) ist), denn erst nach Lösung der homogenen Diff.gl. weiss man über dessen Natur Bescheid. Damit befinde ich mich - bewußt - im Widerspruch zu Abakus' Methode.

mY+

22.01.2007, 08:04

LowDepth

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Vielen Dank, dass du dir nochmal Zeit genommen hast.
Ich habe deshalb darauf geschlossen, dass die Gleichung noch nicht korrekt ist, weil meine Berechnungen bis zum vierten Jahr so aussahen:

10000 Menschen bei B(t=0)
10200 Menschen nach dem ersten Jahr
10402 im zweiten
10602.02 im dritten
10812.0802 im vierten
(berechnet nach: B(t+1)=B(t)*1,01+100*t)

mit der aufgestellten Funktion komme ich aber auf 10814.10703 Menschen im Jahr 2004.

Gruß

22.01.2007, 16:14

Abakus

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RE: Wachstumsfunktion

Zitat:

Original von LowDepth
Im Jahr 2000 leben in einer Stadt 10000 Menschen. Jährlich kommen 1% durch Geburtenüberschuss hinzu und 100 Menschen durch Zuwanderung. B(t) sei die Anzahl Menschen im Jahr 2000 + t.

a) Stellen Sie eine DGL der Form $\begin{eqnarray*} B'(t)=\alpha \cdot B(t) + \beta \end{eqnarray*}$ für B auf mit geeigneten Konstanten $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$

Der Typ der DGL ist vorgegeben. Zu bestimmen sind hier die beiden Konstanten Alpha und Beta.

Die Bestimmung dieser Konstanten entscheidet über die Art und Weise, wie das Modell aussieht und ist ganz entscheidend. Hier müssen wir auch entscheiden, welche Ungenauigkeiten ggf. akzeptiert werden sollen (d.h. soll das Modell die Anfangsbedingungen ungefähr oder genau treffen ?).

Bestimmung von Alpha:

Es ist eine jährliche Wachstumsrate von 1% gegeben. Fraglich ist, welche kontinuierliche Wachstumsrate $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ dem entspricht. Die Wahl von $\begin{eqnarray*} \alpha = 0{,}01 \end{eqnarray*}$ wäre zu hoch und würde einer höheren jährlichen Wachstumsrate entsprechen.

Bei einem in n Zeitabschnitte eingeteiltem Jahr müsste gelten (hier gleich als Limes betrachtet):

$\begin{eqnarray*} 1{,}01 \stackrel{!}{=} (1 + \frac \alpha n)^n \xrightarrow{n \rightarrow \infty} e^\alpha \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \alpha = \ln (1{,}01) \end{eqnarray*}$

Bestimmung von Beta:

Beta ist ein kontinuierlicher Zufluss von Bevölkerung, d.h. der Zufluss findet gleichmäßig über das Jahr verteilt statt.

Würden wir nun $\begin{eqnarray*} \beta = 100 \end{eqnarray*}$ wählen, würden sich die Zugewanderten bereits unterjährig vermehren und der Gesamtzuwachs wäre größer als 100. Demgemäß ist diese Konstante etwas kleiner zu wählen.

Denken wir uns die Zuwanderung auf n Zeitabschnitte innerhalb eines Jahres verteilt, dann muss gelten:

$\begin{eqnarray*} 100 \stackrel{!}{=} \frac \beta n \cdot (1 + \frac \alpha n)^{n - 1} + \frac \beta n \cdot (1 + \frac \alpha n)^{n - 2} + ~...~+ \frac \beta n \cdot (1 + \frac \alpha n)^{1} + \frac \beta n \cdot (1 + \frac \alpha n)^{0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac \beta n \cdot \frac{1 - (1 + \frac \alpha n)^n}{1 - (1 + \frac{\alpha}{n})} \xrightarrow{n \rightarrow \infty} -\frac \beta \alpha \cdot (1 - e^\alpha) = \frac \beta \alpha \cdot 0{,}01 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \beta = 10.000 \cdot \ln (1{,}01) \end{eqnarray*}$

die gesuchte DGL:

$\begin{eqnarray*} B' = \ln (1{,}01) \cdot B + 10.000 \cdot \ln (1{,}01) \end{eqnarray*}$

Zitat:

b) Bestimmen Sie die Lösung B(t) der DGL zur Anfangswertbedingung B(0)=10000.

Die Lösungsformel steht hier schon genügend oft, daher schreibe ich nur die Lösung hin:

$\begin{eqnarray*} B(t) = 20.000 \cdot 1{,}01^t - 10.000 \end{eqnarray*}$

Insbesondere ist nun:

$\begin{eqnarray*} B(0) = 10.000 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B(1) = 10.200 \end{eqnarray*}$

Grüße Abakus smile

EDIT: Latex

22.01.2007, 18:42

mYthos

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@Abakus: bezüglich $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ bin ich doch tatsächlich falsch gelegen! Super, dessen Herleitung von dir! Ich werd' mich noch dafür interessieren, ob nicht auch $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ durch einen spezielleren Ansatz erst in der Diff.gl. Berücksichtigung finden kann.

Gr
mYthos+

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