zusammenhängend (Topologie)

16.03.2012, 15:05

Gast11022013

zusammenhängend (Topologie)

Meine Frage:
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Ein topologischer Raum $\begin{eqnarray*} (X,\mathcal{O}) \end{eqnarray*}$ ist genau dann zusammenhängend, wenn jede stetige Abbildung von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ in einen

diskreten Raum mit mindestens zwei Punkten konstant ist.

Meine Ideen:
Moin, ich hab's mal versucht zu beweisen:

" $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ "

Sei $\begin{eqnarray*} (X,\mathcal{O}) \end{eqnarray*}$ zusammenhängend, d.h. aus $\begin{eqnarray*} X=O_1\cup O_2, O_1, O_2\in\mathcal{O} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} O_1\neq\emptyset\neq O_2 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} O_1\cap O_2\neq\emptyset \end{eqnarray*}$ .

Angenommen, es gibt eine stetige Abbildung $\begin{eqnarray*} f\colon (X,\mathcal{O})\to (Y,\mathfrak{P}(Y)) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ eine mindestens zweipunktige Menge und $\begin{eqnarray*} \mathfrak{P}(Y) \end{eqnarray*}$ die diskrete Topologie auf $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ sei, die nicht konstant ist.

Seien $\begin{eqnarray*} a,b\in Y \end{eqnarray*}$ . Dann sind $\begin{eqnarray*} A:=f^{-1}\left(\left\{a\right\}\right)\in\mathcal{O} \end{eqnarray*}$ und ebenso $\begin{eqnarray*} B:=f^{-1}\left(\left\{b\right\}\right)\in\mathcal{O} \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht konstant ist, sind diese Urbilder disjunkt, d.h. $\begin{eqnarray*} A\cap B=\emptyset \end{eqnarray*}$ . Kann man dann sagen, daß $\begin{eqnarray*} (X,\mathcal{O}) \end{eqnarray*}$ nicht zusammenhängend ist, weil aus $\begin{eqnarray*} X=A\cup B \end{eqnarray*}$ nicht folgt, daß $\begin{eqnarray*} A\cap B\neq\emptyset \end{eqnarray*}$ ?

" $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ "

Angenommen, $\begin{eqnarray*} (X,\mathcal{O}) \end{eqnarray*}$ ist nicht zusammenhängend. Das bedeutet $\begin{eqnarray*} X=O_1\cup O_2, O_1,O_2\in\mathcal{O},O_1\neq\emptyset\neq O_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} O_1\cap O_2=\emptyset \end{eqnarray*}$ .

Ist nun $\begin{eqnarray*} f\colon (X,\mathcal{O})\to (Y,\mathfrak{P}(Y)) \end{eqnarray*}$ eine stetige und konstante Abbildung und seien $\begin{eqnarray*} a,b\in Y \end{eqnarray*}$ . Da alle Elemente aus $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ auf einen Punkt abgebildet werden, beispielsweise auf den Punkt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , gilt $\begin{eqnarray*} f^{-1}\left(\left\{a\right\}\right)=X=O_1\cup O_2 \end{eqnarray*}$ . Wenn $\begin{eqnarray*} O_1\cap O_2=\emptyset \end{eqnarray*}$ , kann doch aber nur gelten $\begin{eqnarray*} O_1=X,O_2=\emptyset \end{eqnarray*}$ (oder umgekehrt) und damit sind $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ die einzigen Teilmengen von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , die zugleich offen und abgeschlossen sind. Damit ist $\begin{eqnarray*} (X,\mathcal{O}) \end{eqnarray*}$ doch aber zusammenhängend.

Auch hier würde ich mich sehr über ein Feedback freuen!

Dennis

16.03.2012, 20:03

speedyschmidt

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RE: zusammenhängend (Topologie)

Zitat:

Original von Dennis2010
Seien $\begin{eqnarray*} a,b\in Y \end{eqnarray*}$ . Dann sind $\begin{eqnarray*} A:=f^{-1}\left(\left\{a\right\}\right)\in\mathcal{O} \end{eqnarray*}$ und ebenso $\begin{eqnarray*} B:=f^{-1}\left(\left\{b\right\}\right)\in\mathcal{O} \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht konstant ist, sind diese Urbilder disjunkt, d.h. $\begin{eqnarray*} A\cap B=\emptyset \end{eqnarray*}$ . Kann man dann sagen, daß $\begin{eqnarray*} (X,\mathcal{O}) \end{eqnarray*}$ nicht zusammenhängend ist, weil aus $\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{X=A\cup B} \end{eqnarray*}$ nicht folgt, daß $\begin{eqnarray*} A\cap B\neq\emptyset \end{eqnarray*}$ ?

Das rote ist falsch, nimm $\begin{eqnarray*} A:=f^{-1}\left(\left\{a\right\}\right)\in\mathcal{O} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B:=f^{-1}\left(Y\setminus \{a\}\right)\in\mathcal{O} \end{eqnarray*}$ .
" $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ "

Zitat:

Angenommen, $\begin{eqnarray*} (X,\mathcal{O}) \end{eqnarray*}$ ist nicht zusammenhängend. Das bedeutet $\begin{eqnarray*} X=O_1\cup O_2, O_1,O_2\in\mathcal{O},O_1\neq\emptyset\neq O_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} O_1\cap O_2=\emptyset \end{eqnarray*}$ .

Ist nun $\begin{eqnarray*} f\colon (X,\mathcal{O})\to (Y,\mathfrak{P}(Y)) \end{eqnarray*}$ eine stetige und konstante Abbildung und seien $\begin{eqnarray*} a,b\in Y \end{eqnarray*}$ . Da alle Elemente aus $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ auf einen Punkt abgebildet werden, beispielsweise auf den Punkt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , gilt $\begin{eqnarray*} f^{-1}\left(\left\{a\right\}\right)=X=O_1\cup O_2 \end{eqnarray*}$ . Wenn $\begin{eqnarray*} O_1\cap O_2=\emptyset \end{eqnarray*}$ , kann doch aber nur gelten $\begin{eqnarray*} O_1=X,O_2=\emptyset \end{eqnarray*}$ (oder umgekehrt) und damit sind $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ die einzigen Teilmengen von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , die zugleich offen und abgeschlossen sind. Damit ist $\begin{eqnarray*} (X,\mathcal{O}) \end{eqnarray*}$ doch aber zusammenhängend.

Auch hier würde ich mich sehr über ein Feedback freuen!

Dennis

Was machst Du hier? Du nutzt f nicht. Du hast Deine Zerlegung von X, darauf solltest Du ein explizites f definieren und zeigen, dass es nicht konstant sein kann.

16.03.2012, 20:17

Gast11022013

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RE: zusammenhängend (Topologie)
" $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ "

Wenn $\begin{eqnarray*} X=O_1\cup O_2, O_1\cap O_2=\emptyset \end{eqnarray*}$ ,

könnte man die Abbildung ja zum Beispiel so definieren:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} a, & x\in O_1\\ b, & X\setminus O_1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Dann wäre sie nicht konstant.

Meinst Du das so?

16.03.2012, 20:26

speedyschmidt

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genau das mein ich, $\begin{eqnarray*} a\neq b \end{eqnarray*}$ wär noch cool und Stetigkeit ist noch zu zeigen, das ist aber leicht smile

16.03.2012, 20:33

Gast11022013

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Okay, es sei also $\begin{eqnarray*} a\neq b \end{eqnarray*}$ ; es gibt nach Voraussetzung ja mindestens zwei Punkte.

Und zu der Stetigkeit:

$\begin{eqnarray*} f^{-1}\left(\left\{a\right\}\right)=\left\{x\in X~|~f(x)\in\left\{a\right\}\right\}=O_1\in\mathcal{O} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} f^{-1}\left(\left\{b\right\}\right)=X\setminus O_1=O_2\in\mathcal{O} \end{eqnarray*}$

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