Bedingte Erwartung (Würfeln)

16.03.2012, 15:38	StAnger_	Auf diesen Beitrag antworten »
Bedingte Erwartung (Würfeln) Ich bräuchte Hilfe bei einer Aufgabe: Ein Laplace-Würfel mit Werten von 1 bis 6 werde 2-mal unabhängig geworfen. Sei $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ das Minimum und $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ das Maximum der beiden Würfe. Bestimme $\begin{eqnarray} \mathbb E(Y\|X). \end{eqnarray}$ Es ist ja $\begin{eqnarray} \mathbb E(X\|\mathcal F)(\omega):\Omega \to \mathbb R \end{eqnarray}$ definiert durch $\begin{eqnarray} \mathbb E(X\|\mathcal F)(\omega) :=\sum_{k=1}^\infty \mathbb E(X\|B_k) \cdot 1_{B_k}(\omega) \end{eqnarray}$ (nebenbei: wie mach ich eine 1 mit Doppelstrich, das soll hier nämlich die Indikatorfunktion über die Menge $\begin{eqnarray} B_k \end{eqnarray}$ sein?), wobei $\begin{eqnarray} \Omega = B_1 \uplus B_2 \uplus ... \end{eqnarray}$ Dann hab ich doch hier in der Aufgabe $\begin{eqnarray} \mathbb E(X\|Y) = \sum_{k=1}^6 \mathbb E(X\|\{k\}) \cdot 1_{\{k\}} \end{eqnarray}$ Ist das bis hierhin richtig?
16.03.2012, 15:51	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bedingte Erwartung (Würfeln) Dies soll keine Antwort auf Deine eigentliche Frage sein, denn ich steige da nicht so ganz durch. Aber wieso bestimmt Du nicht erstmal $\begin{eqnarray} P(X\|Y) \end{eqnarray}$ und dann den Erwartungswert? (Oder hast Du das vor und ich erkenne das nur nicht, dann sorry).
16.03.2012, 16:02	StAnger_	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wollte wissen ob ich den ersten Schritt richtige gemacht habe, indem ich einfach die Definition anwende. Wie berechne ich denn $\begin{eqnarray} P(X\|Y)? \end{eqnarray}$ Wir haben die bedingte Wahrscheinlickeit nur für Ereignisse definiert, also $\begin{eqnarray} P(A\|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} P(B)>0 \end{eqnarray}$ Wie mache ich das denn für ZV'n?
16.03.2012, 16:06	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau Dir dazu mal diesen Artikel an, da ist ein Beispiel mit Würfeln, das Dir vielleicht weiterhilft: http://de.wikipedia.org/wiki/Bedingter_Erwartungswert
16.03.2012, 17:50	StAnger_	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, also wenn ich das richtig verstanden habe ist $\begin{eqnarray} P(Y\|X) \end{eqnarray}$ eine ZV und ich kann es in diesem Fall erstmal umschreiben in $\begin{eqnarray} P(Y\|X)= \sum_{n=1}^6 P(Y\|X=n) \cdot 1_{\{X=n\}} \end{eqnarray}$ , richtig? und weiter $\begin{eqnarray} = \sum_{n=1}^6 1_{\{X=n\}} \sum_{k=1}^6 P(Y=k\|X=n) = \sum_{n=1}^6 1_{\{X=n\}} \sum_{k=1}^6 \frac{P(\{Y=k\} \cap \{X=n\})}{P(X=n)} \end{eqnarray}$

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »