Herleitung des Vorwärtsdifferenzenquotients via Taylorreihe

16.03.2012, 18:05

Residium

Herleitung des Vorwärtsdifferenzenquotients via Taylorreihe

Meine Frage:
Moin!

Hab eine Frage : mir ist nicht klar, wie man aus allg. Definition (beispielsweise Wikipedia)der Taylorreihe zu dem sog. Vorwärtsdifferenzenquotienten kommt.

Im Anhang befindet sich eine Behauptung (Formel), die ich leider auf Anhieb nicht nachvollziehen kann.
[attach]23562[/attach]

Danke sehr im voraus!

Meine Ideen:
...

16.03.2012, 22:33

chrizke

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Also, ich nehme mal an, dass du mit der Taylorreihe vertraut bist.

Aus der Taylorreihe ergibt sich, wenn man nach dem zweiten Glied (erste Ableitung) abbricht, folgende Gleichheit

$\begin{eqnarray*} u(x+h) = u(x) + h u'(x) + \mathcal{O}(h^2) \end{eqnarray*}$

mit einem quadratischen Fehler.

Bringt man nun das $\begin{eqnarray*} u(x) \end{eqnarray*}$ rüber und teilt durch h ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \frac{u(x+h)-u(x)}{h}=u'(x)+\mathcal{O}(h). \end{eqnarray*}$

16.03.2012, 22:35

thk

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Hallo Residium,

unter den gemachten Vorauss. ergibt sich nach der Taylor-Reihe

$\begin{eqnarray*} \frac{u(x+h)-u(x)}{h}=u'(x)+h*\frac{u''(x)}{2!}+... \end{eqnarray*}$ ,

wobei das Restglied $\begin{eqnarray*} R(h) = h*\frac{u''(x)}{2!}+... \end{eqnarray*}$ verschwindet für h -> 0

Edit: zu spät

17.03.2012, 19:30

Residium

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RE: Herleitung des Vorwärtsdifferenzenquotients via Taylorreihe

Zitat:

Original von Residium
Meine Frage:
Moin!

Hab eine Frage : mir ist nicht klar, wie man aus allg. Definition (beispielsweise Wikipedia)der Taylorreihe zu dem sog. Vorwärtsdifferenzenquotienten kommt.

Im Anhang befindet sich eine Behauptung (Formel), die ich leider auf Anhieb nicht nachvollziehen kann.
[attach]23562[/attach]

Danke sehr im voraus!

Meine Ideen:
...

Mir ist klar, wie man aus der geg Formel zum Differenzenquutienten kommt : nach dem 2.Glied abbrechen und umstellen. Aber mir ist nicht klar weshalb die geg. Formel mit u(x+h) gilt. Wieso gilt sie, wenn wir aus der Definitions für Taylorreihe ausgehen?

17.03.2012, 19:43

chrizke

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Also die Taylorreihe ist ja so definiert:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n \end{eqnarray*}$

Wenn man nun diskretisiert, betrachtet man ja die Werte $\begin{eqnarray*} x_n = x+nh \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0 = x \end{eqnarray*}$ .

Setzt man das nun in die Taylorreihe ein, bekommt man:

$\begin{eqnarray*} f(x+h) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} ((x+h)-x_0)^n = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x)}{n!} (x+h-x)^n = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x)}{n!} h^n \end{eqnarray*}$

17.03.2012, 20:00

Residium

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Zitat:

Original von chrizke
Also die Taylorreihe ist ja so definiert:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n \end{eqnarray*}$

Wenn man nun diskretisiert, betrachtet man ja die Werte $\begin{eqnarray*} x_n = x+nh \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0 = x \end{eqnarray*}$ .

Setzt man das nun in die Taylorreihe ein, bekommt man:

$\begin{eqnarray*} f(x+h) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} ((x+h)-x_0)^n = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x)}{n!} (x+h-x)^n = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x)}{n!} h^n \end{eqnarray*}$

Danke schön, Chrizke! Genau dies wollte ich nachvollziehen. smile

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