Anzahl der Lösungen eines linearen Gleichungssystems Beweis

16.03.2012, 18:21	DieFrage111	Auf diesen Beitrag antworten »
Anzahl der Lösungen eines linearen Gleichungssystems Beweis Meine Frage: Wie kann man beweisen, dass jedes lineares Gleichungssystem entweder keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen hat und nicht z.B. zwei Lösungen oder mehr möglich sind? Ich hab mir den Artikel in Wikipedia angeschaut, allerdings habe ich das nicht verstanden und auf anderen Seiten habe ich auch nichts gefunden. Meine Ideen: In Wikipedia stand drauf, dass man den Rang der Matrix untersuchen soll oder eine Determinante. Allerdings weiß ich nicht, was damit gemeint ist.
16.03.2012, 19:11	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
kannst du eine erweiterte Matrix ( Kuzform für ein LGS ) mit dem Gauß-Vefahren in Stufenform bringen? z.B. $\begin{eqnarray} A_e=\begin{pmatrix}\begin{array}{ccc\|c}<br /> a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1 \\<br /> a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_2 \\ <br /> a_{31} & a_{32} & a_{33} & b_3 \end{array} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wann ist das unlösbar? wann ist eine Lösung gegeben? wann sind beliebig viele Lösungen möglich?
22.06.2015, 12:15	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hätte da mal noch eine Frage dazu Wenn man mir zum Beispiel in einer Prüfung die folgende Frage stellt: Wie viele Lösungen kann ein lineares Gleichungssystem haben, dann ist die Antwort: "entweder eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen" doch etwas vorschnell oder nicht. Dies gilt doch nur für unendliche Körper wie zum Beispiel $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ Wenn ich eine endlichen Körper betrachte mit $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ Elementen, so ist die Anzahl der Lösungen doch eine Potenz von $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ . Also entweder gibt es keine Lösung, oder es gibt eine Lösung (Potenz wäre hier Null) oder es gibt eben $\begin{eqnarray} q^k \end{eqnarray}$ Lösunge für $\begin{eqnarray} k \in \mathbb N \end{eqnarray}$ So kann es zum Beispiel kein lineares Gleichungssystem geben, dass genau 6 Lösunge hat, denn es gibt keinen Körper mit genau $\begin{eqnarray} \sqrt[k]{6} - \end{eqnarray}$ Elementen stimmt das?
24.06.2015, 11:23	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab mich jetzt noch mal bisschen eingelesen, vielleicht hat hier ja jemand mitgelesen und interessiert sich auch dafür, jedenfalls bin ich zu folgendem Ergebnis gekommen: Wir betrachten einen $\begin{eqnarray} \mathbb K - \end{eqnarray}$ Vektorraum $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \dim(V) = n \end{eqnarray}$ . Das heißt es gibt eine Basis $\begin{eqnarray} B = \{ b_1,...,b_n\} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ und jeder Vektor $\begin{eqnarray} v \in V \end{eqnarray}$ genießt die eindeutige Darstellung $\begin{eqnarray} v = \sum_{i=1}^n \alpha_i b_i \end{eqnarray}$ . Nun sei $\begin{eqnarray} \mathbb K \end{eqnarray}$ ein endlicher Körper, dann hat $\begin{eqnarray} \mathbb K \end{eqnarray}$ genau $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ Elemente. Dabei ist $\begin{eqnarray} q \ \text{prim} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} q = p^k \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} p \ \text{prim und } k \in \mathbb N_{\geq 1} \end{eqnarray}$ Also kurz: Die Mächtigkeit eines Körpers ist eine Primzahl oder eine Primzahlpotenz. In der eindeutigen Darstellung gibt es also für jeden Koeffiziente genau $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ Möglichkeiten, also hat der Vektorraum $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ über dem endlichen Körper $\begin{eqnarray} \mathbb K \end{eqnarray}$ die Mächtigkeit $\begin{eqnarray} q^n \end{eqnarray}$ . Nun betrachte ich ein homogenes LGS. Die Lösungsmenge bildet einen UVR. (Für inhomogene LGS nur einen affinen Unterraum, aber das macht nichts, da ich nur über die Dimension argumentiere und die Dimension der affinen Unterraums gerade der Dimenison des UVR der Lösungen der homogenen Lösung entspricht). Es gilt dann: $\begin{eqnarray} dim(L(A,0)) = n - Rang(A) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} A \in \mathbb K^{m \times n} \end{eqnarray}$ die Koeffizientenmatrix des LGS $\begin{eqnarray} Ax=0 \end{eqnarray}$ ist. Also kann $\begin{eqnarray} L(A,0) \end{eqnarray}$ folgende Dimensionen haben. $\begin{eqnarray} D = \{n,n-1,n-2,...,1,0\} \end{eqnarray}$ Dieser UVR ist über dem selben Körper definiert, wie der VR $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ zuvor. Er hat also $\begin{eqnarray} q^k \end{eqnarray}$ Elemente, wobei $\begin{eqnarray} k \in D \end{eqnarray}$ gilt. Nun endlich zur Frage. Gibt es ein LGS mit genau 6 Lösungen. Wäre dies der Fall, so gäbe es einen UVR von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ mit genau 6 Elementen. Also $\begin{eqnarray} 6 = q^k \end{eqnarray}$ Aber 6 ist keine Primzahl und auch keine Primzahlpotenz. Im Übrigen, ist die 6 auch die kleinste Zahl bei der diese Frage mit NEIN zu beantworten ist. Viele Grüße Stevie

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