Standardabweichung

20.01.2007, 15:06

f(x)

Standardabweichung

Hallo!

Was genau versteht man unter einer "Grundgesamtheit-Standardabweichung (von x)" ?
Und was ist eine Stichproben-Standardabweichung?

Wenn ich nämlich in meinem Taschenrechner den Statistikmodus aufrufe und eingebe, dass ich in einem Experiment die Ergebnisse:
$\begin{eqnarray*} x_1=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3=2 \end{eqnarray*}$
erhalte, sagt mir mein Taschenrechner Folgendes:

Anzahl der Ergebnisse = 3
Mittelwert = 1.33333...
Stichproben-Standardabweichung = 0.57735...
Grundgesamtheit-Standardabweichung = 0.47140...

Wie man die Anzahl der Ergebnisse und den Mittelwert bestimmt, ist ja klar, aber wie berechnet mein Taschenrechner die letzten beiden Größen?

20.01.2007, 17:10

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Die Stichproben-Standardabweichung ist

$\begin{eqnarray*} s = \sqrt{\frac{1}{n-1} ~ \sum_{k=1}^n ~ (x_k-\bar{x})^2}\qquad (*) \end{eqnarray*}$

Der andere Wert ist vermutlich

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{n} ~ \sum_{k=1}^n ~ (x_k-\bar{x})^2}\qquad (**) \end{eqnarray*}$ ,

der wird leider sehr oft auch als Standardabweichung bezeichnet, bei dir sogar als "Grundgesamtheit-Standardabweichung". Völliger Käse, wenn du mich fragst: Woher will der Taschenrechner aus einer kleinen Stichprobe heraus wissen, welche theoretische Standardabweichung die zugehörige Grundgesamtheit hat??? unglücklich

Das $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ oben dagegen macht mehr Sinn: Die zugehörige Stichprobenvarianz $\begin{eqnarray*} s^2 \end{eqnarray*}$ ist nämlich ein erwartungstreuer (also unverzerrter) Schätzer für die Varianz der Grundgesamtheit. Das ist bei Formel (**) nicht der Fall, da gibt es eine systematische Verzerrung: Der angegebene Wert ist einfach im Mittel zu klein, besonders bei kleinen Stichprobenumfängen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

21.01.2007, 00:34

f(x)

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Okay, danke!

23.01.2007, 09:26

Zahlenschubser

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Hallo Arthur!

Das ist die Art und Weise, wie Stichproben- und Grundgesamtheitsstandardabweichung z. B. in Excel berechnet werden und wahrscheinlich das, was f(x) auch wissen wollte.

Theoretisch hingegen ist die Grundgesamtheitsstandardabweichung nicht in Abweichung zum Stichproben-Mittelwert zu messen, sondern erwartungstreu mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Freiheitsgraden zum Grundgesamtheitserwartungswert: $\begin{eqnarray*} \sigma=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n (x_k-\mu)^2} \end{eqnarray*}$ . ( $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ Freiheitsgrade werden deswegen verwendet, weil $\begin{eqnarray*} \bar{x} \end{eqnarray*}$ schon eine Schätzung ist.) Es ist schließlich $\begin{eqnarray*} \sigma^2=\text{E}[X-\text{E}(X)]^2 \end{eqnarray*}$ .

Im Allgemeinen bezeichnet man Grundgesamtheitsparameter auch mit griechischen Buchstaben und Stichprobenschätzer mit lateinischen.

Nachtrag noch zu (**), die Schätzung ist trotzdem konsistent, also für große Stichprobenumfänge asymptotisch erwartungstreu.

23.01.2007, 11:57

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Zitat:

Original von Zahlenschubser
Theoretisch hingegen ist die Grundgesamtheitsstandardabweichung nicht in Abweichung zum Stichproben-Mittelwert zu messen, sondern erwartungstreu mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Freiheitsgraden zum Grundgesamtheitserwartungswert: $\begin{eqnarray*} \sigma=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n (x_k-\mu)^2} \end{eqnarray*}$ .

Und genau das ist der Punkt: Einfach dieselbe Formel mit $\begin{eqnarray*} \bar{x} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ zu nehmen ist nicht sehr sinnvoll, da man dadurch eine systematische Verzerrung reinbringt.

Zitat:

Original von Zahlenschubser
Nachtrag noch zu (**), die Schätzung ist trotzdem konsistent, also für große Stichprobenumfänge asymptotisch erwartungstreu.

(**) ist im Quadrat asymptotisch erwartungstrue für $\begin{eqnarray*} \sigma^2 \end{eqnarray*}$ , das ist richtig. Das ist aber was völlig anderes als Konsistenz, schlag mal die Begriffe richtig nach. Augenzwinkern

23.01.2007, 12:39

Zahlenschubser

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Hallo Arthur! Danke für deinen Nachtrag!

Ohne in Haarspaltereien verfallen zu wollen, ich denke die Frage von f(x) ist beantwortet. Aber verschwindet der eine Freiheitsgrad nicht gerade dadurch, dass $\begin{eqnarray*} \bar{X} \end{eqnarray*}$ ein Stichprobenschätzer für den unbekannten Grundgesamtheitserwartungswert $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ ist? Also ein Parameter der Verteilung aus der Stichprobe vom Umfang $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ bereits geschätzt wurde?

Deswegen darf man in Stichproben auch völlig richtig nicht einfach $\begin{eqnarray*} \bar{X}=\mu \end{eqnarray*}$ setzen. Was schon nicht sein kann, weil die linke Seite eine Zufallsvariable ist und die rechte nicht. Sondern $\begin{eqnarray*} \text{E}(\bar{X})=\mu \end{eqnarray*}$ . Mit Sicherheit ist dein Fall der praxisrelevantere, aber bei der Frage nach der Grundgesamtheitsstandardabweichung würde ich mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Freiheitsgraden rechnen, wenn ich den Grundgesamtheitserwartungswert $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ kennen würde. (Oder die "Stichprobe" die Grundgesamtheit ist.)

Und ganz blöd gefragt, wo liegt der Unterschied zwischen asymptotischer Erwartungstreue und Konsistenz? Beide gelten doch nur für den unendlichen Stichprobenumfang. (Ok, dass das nicht die richtige Argumentation ist, ist mir klar. Deswegen frage ich ja auch.)

23.01.2007, 13:34

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Konsistenz setzt asymptotische Erwartungstreue voraus, ja - aber sie ist nicht äquivalent dazu! Betrachte doch nur mal die Grundgesamtheit $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ , daraus die mathematische Stichprobe $\begin{eqnarray*} X_1,\ldots,X_n \end{eqnarray*}$ . Jetzt betrachte ich den $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ -Schätzer

$\begin{eqnarray*} T_n := \frac{n-1}{n} X_n \end{eqnarray*}$ .

Ziemlich dämlich, ich weiß, nur den letzten Wert zu nehmen statt die Information aller Werte zu nutzen - aber formal spricht nichts dagegen. Eine einfache Rechnung zeigt

$\begin{eqnarray*} E(T_n) = \frac{n-1}{n}\mu \to \mu \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ ,

also ist $\begin{eqnarray*} T_n \end{eqnarray*}$ asymptotisch erwartungstreu. Von Konsistenz aber keine Spur, denn bei Testgrößen mit existierender Varianz muss im Falle der Konsistenz auch $\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(T_n)\to 0 \end{eqnarray*}$ gelten, was hier ja nicht gilt:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(T_n) = \left(\frac{n-1}{n} \right)^2 \sigma^2 \to \sigma^2 \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Ich hoffe, dieses Beispiel bringt dich jetzt dazu, über den Unterschied nachzudenken bzw. nachzuschlagen, wenn das schon mit meinem letzten Beitrag nicht geklappt hat.

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