wegzusammenhängend

16.03.2012, 19:43

Gast11022013

wegzusammenhängend

Meine Frage:
Zeigen Sie:

Ist ein topologischer Raum $\begin{eqnarray*} (X,\mathcal{O}) \end{eqnarray*}$ zusammenhängend und lokal wegzusammenhängend, dann ist er wegzusammenhängend.

Meine Ideen:
Moin, ich hab' mir das hier überlegt.

Nach Annahme sind die einzigen zugleich offenen und abgeschlossenen Teilmengen von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ die leere Menge und $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ .

Fixiere ein $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ und betrachte die Menge $\begin{eqnarray*} W=\left\{y\in X~|~\exists~\text{Weg von y nach x}\right\} \end{eqnarray*}$ .

Die Menge $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ist offen, denn nach Annahme:

$\begin{eqnarray*} \forall~U_z\in\mathcal{U}(z)~\exists~V_z\in\mathcal{U}(z): z\in O_z\subseteq V_z\subseteq U_z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} V_z \end{eqnarray*}$ wegzusammenhängend und $\begin{eqnarray*} O_z\in\mathcal{O} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt $\begin{eqnarray*} W=\bigcup_{z\in W}T_z, T_z:=O_z \end{eqnarray*}$

(Als Vereinigung offener Mengen ist W offen.)

W ist auch wegzusammenhängend, denn seien etwa $\begin{eqnarray*} a,b\in W \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es einen Weg von a nach b, indem man den Weg von x nach a mit dem Weg von x nach b verknüpft.

Aber $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ist auch abgeschlossen:

$\begin{eqnarray*} X\setminus W \end{eqnarray*}$ ist offen, denn auch für jedes $\begin{eqnarray*} p\in X\wedge x\notin W \end{eqnarray*}$ und jede Umgebung $\begin{eqnarray*} N_p \end{eqnarray*}$ von p gibt es eine wegzusammenhängende Umgebung $\begin{eqnarray*} M_p \end{eqnarray*}$ , die in $\begin{eqnarray*} N_p \end{eqnarray*}$ enthalten ist.

Auch hier kann man also offene Mengen vereinigen.

Da W nach Fixierung von x nicht leer, abgeschlossen und offen ist, ist W mit X identisch. Also ist X wegzusammenhängend.

Ich freue mich auf Eure Reaktionen, Verbesserung etc.!

Dennis

16.03.2012, 19:52

IfindU

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RE: wegzusammenhängend
Wieso ist denn die einzige offene und abgeschlossene Menge der ganze Raum bzw. die leere Menge? Mit $\begin{eqnarray*} \mathcal{O} = 2^X \end{eqnarray*}$ ist jede Menge offen und abgeschlossen.

Edit: Sry, bin heute etwas verpeilt, ist natürlich die Definition des Zusammenhangs Forum Kloppe

Edit #2:
Ich nehme an lokal wegzusammenhängend bedeutet: es gibt eine Umgebung, die eine offene, zusammenhängende Umgebung enthält? Bei abgeschlossen ist noch ein kleiner Schreibfehler, du meinst wohl p nicht aus W.

Sieht gut aus Freude

16.03.2012, 21:27

Gast11022013

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RE: wegzusammenhängend

Zitat:

Original von IfindU

Edit #2:
Ich nehme an lokal wegzusammenhängend bedeutet: es gibt eine Umgebung, die eine offene, zusammenhängende Umgebung enthält? Bei abgeschlossen ist noch ein kleiner Schreibfehler, du meinst wohl p nicht aus W.

Also im Boto v. Querenburg steht:

"Ein topologischer Raum X heißt lokal (weg-)zusammenhängend, wenn es zu jedem Punkt $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ und zu jeder Umgebung U von x eine (weg-)zusammenhängende Umgebung V von x mit $\begin{eqnarray*} V\subset U \end{eqnarray*}$ gibt."

16.03.2012, 23:34

IfindU

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RE: wegzusammenhängend
Ok, habs wieder ein wenig durcheinander geworfen, dass deine Umgebungen nicht offen sein müssen. Irritiert mich immer wieder.

Der Beweis sollte dann stimmen.

17.03.2012, 00:22

Gast11022013

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RE: wegzusammenhängend
Tanzen

Danke!

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