Punkte im kartesischen Koordinatensystem

16.03.2012, 22:41

Diva

Punkte im kartesischen Koordinatensystem

Meine Frage:
Wir haben ein paar Aufgaben als Hausaufgaben bekommen, an einer sitze ich jetzt schon seit 2 (!?) Stunden.

In einem kart. Koordinatensystem sind die Punkte A(2|-2|0); B(2|2|0) ; C(-2|2|0)und S(0|0|4)gegeben.

a) Zeigen sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist.
b) Bestimmen sie die Koordinaten eines weiteren Punktes D so, dass das Viereck ABCD ein Quadrat ist.
c) Die Punkte A, B, C, D und S sind Eckpunkte einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Zeichnen sie ein Schrägbild der Pyramide.
d)Berechnen sie das Volumen der Pyramide.

Meine Ideen:
Ich hab versucht a zu lösen und werde hier mein Ergebniss darstellen; also mein Ergebnis besagt jedenfalls, dass das Dreieck nicht gleichschenklig ist! Das schließt doch dann die anderen Aufgaben aus, oder?! Weil diese ja praktisch davon ausgehen, dass es ein gleichschenkliges Dreieck ist.
Erst hab ichs mal versucht in ein Koordinatensystem einzuzeichnen, das gestalltete sich aber schwierig, da ich nicht so recht wusste, wie ich C jetzt einzeichnen soll -> vorher haben wir im Unterricht sowas leider noch nicht gemacht...

$\begin{eqnarray*} AB(->)= \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow | \vec{ab} | = \sqrt{2²+(-2)²+0²} = 2,8 AC(->)=\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4\\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow |\vec{ac} | = \sqrt{(-4)²+4²} = 5,7 BC(->)=\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow |\vec{bc} | = \sqrt{4²} = 4 \Rightarrow es ist nicht gleichschenklig. \end{eqnarray*}$

Helft mir bitte beim Lösen! smile

Ist mein Ansatz überhaupt richtig?

MfG
Diva smile

16.03.2012, 22:45

frank09

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RE: Punkte im kartesischen Koordinatensystem
Betrag ab ist falsch berechnet!

16.03.2012, 23:43

Diva

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Ahh ich Blödie! O.o
Richtig wären Wurzel 4² also 4
Danke schonmal! smile

16.03.2012, 23:45

Equester

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Es war gemeint, dass die erste Zeile falsch berechnet ist Augenzwinkern

.
Da hast du dich vertan smile

16.03.2012, 23:47

Diva

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Ja, habs gesehen! Big Laugh

Schon echt doof von mir! Big Laugh

Da denk ich, ich stehe vor einem mathematisch unlösbaren Problem und dann sowas!
Danke! smile

Edit:
Hmmm jetzt komm ich bei b) Trotzdem nicht weiter! unglücklich

Ich tippe darauf, dass ich es wie bei der P nach Q Verschiebung machen muss, aber sicher bin ich nicht!

16.03.2012, 23:55

Equester

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P nach Q Verschiebung?

Ich würde mit dem Skalarprodukt ansetzen? Augenzwinkern

Wie lang die Seite sein muss, weißt du ja schon.

Edit:
frank ist wieder da. Da übergebe ich gleich mal smile

17.03.2012, 01:26

frank09

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Zitat:

frank ist wieder da. Da übergebe ich gleich mal.

Danke, Equester. Freude

Du hast ja jetzt zwei gleichlange Seiten. An welchen Punkt musst du eine der Seiten (=Vektor) anhängen, um deine dritte Quadratseite und damit den vierten Punkt zu bekommen? Und welche Seite?

17.03.2012, 12:08

Diva

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Sorry, war ein wenig spät gestern! smile

Ich nehm mal an an B, oder? Weil ich ja den Punkt B praktisch um AC(->) verschiebe?

lg Diva smile

Edit:

Jetzt muss ich dann praktisch B um Ac(->) verschieben, oder?

Also:

B(2|2|0) ------ (-4|4|0) ------ D(-2|6|0)

Edit 2:

Hmm, wie zeichne ich jetzt bei c) die Punkte C und D ein? Mein Versuch ergab ja noch nichtmal ein gleichschenkliges Dreick...

17.03.2012, 12:43

Diva

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Äh das Zeichnen hat mitlerweile doch geklappt, aber Punkt D ist dann iwi falsch. O.o
Wie ich D jetzt berechnen soll weiß ich wieder nicht.
HELP smile

Edit:
Ah ne jetzt versteh ich erst was du mir mit den Seiten sagen wolltest! smile

AB muss ja an allen 4 Seiten gleich sein um ein Quadrat zu erhalten.
Aber wie bestimm ich D jetzt rechnerisch?
Zeichnerisch müsste D bei (-3|3) liegen.

17.03.2012, 23:00

frank09

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RE: Punkte im kartesischen Koordinatensystem
Welche der 3 Seiten musst du an C dranhängen, damit das Ende auf D liegt?
Mit dranhängen meine ich:
$\begin{eqnarray*} D=C+\vec{AB}/\vec{AC}/\vec{BC} \end{eqnarray*}$

18.03.2012, 11:35

Diva

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Ich würde sagen BC oder AB.

18.03.2012, 21:07

Diva

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Hmmm, deine Zeichnung sieht auch anders aus aus meine! O.o
Ich bin ein wenig am verzweifeln...

18.03.2012, 23:08

frank09

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Ich habe jetzt mal BC (=a) an C drangehängt. Sind A,B,C und D Eckpunkte eines Quadrats. Ich denke, wohl nicht... Es bleibt also nur noch eine Möglichkeit: D=C-AB
Was deine Zeichung angeht: AB(=c) und BC(=a) müssen gleichlang sein wie berechnet. Durch Skalarprodukt erkennt man auch den rechten Winkel.

19.03.2012, 00:15

Diva

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Was ist denn ein Skalarprodukt, wenn ich fragen darf?

19.03.2012, 01:29

frank09

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Sei $\begin{eqnarray*} \vec{a}=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}, \vec{b}=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Dann ist das Skalarprodukt definiert als
$\begin{eqnarray*} \vec{a}*\vec{b}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3 \end{eqnarray*}$

Es ist u.a. abhängig vom Winkel, den die beiden Vektoren miteinander einschließen, und gleich null, wenn sie senkrecht zueinander stehen.

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