radioaktiver zerfall

20.01.2007, 15:29

iphigenie

radioaktiver zerfall

hallöchen,

hier meine frage:
ein element halbiert seine strahlung in 25 tagen.

a) wann sind von 50g noch 10g übrig?

mein anfang:

f(t)=c*a^k*t

also

10g=50g*0,5^1/25*t oder? meine klassenkameraden haben aber statt 0,5 die zahl e eingefügt, irgendwie raff ich das leider nicht.

kann mir jemand helfen??

liebe grüße, nele

20.01.2007, 16:43

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deine Gleichung ist so richtig.

Freude

$\begin{eqnarray*} 10g=50g\cdot 0,5^{\frac{1}{25}\cdot t} \end{eqnarray*}$

Denn wenn du jetzt für t (anzahl der Tage) 25 einsetzt, käme genau 25 heraus. Also stimmt der Halbierungsalgorithmus...

20.01.2007, 16:47

iphigenie

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huhu rs, danke erstmal!!!

aber wie krieg ich nun t raus?? muss ich den exponenten teilen beim logarithmieren??

und warum haben die anderen e statt 0,5 eingesetzt?? e hat doch einen ganz anderen wert als 0,5.

auf irgendeiner mathe-seite hab ich gesehen, dass die den radioaktiven zerfall immer mit der eulerschen zahl ausrechnen. hmm, .....

20.01.2007, 16:49

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das mit dem e weis ich leider auch nicht, aber da nach 25 Tagen nur noch die Hälfte da sein soll, würde ich sagen dass deine Gleichung so stimmt...

Nun musst du erstmal Logarithmusgesetze anwenden. Also mit Exponent nach vorne ziehen und so weiter...

20.01.2007, 16:55

iphigenie

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also so:

$\begin{eqnarray*} log \frac{10g}{50g}=log \frac{1}{25}+ log t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} log \frac{10g}{50g}-log \frac{1}{25}= log t \end{eqnarray*}$

mit der basis 0,5 natürlich.

wie bekomme ich dann den log vor dem t weg??

traurig

20.01.2007, 21:42

mYthos

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Wir wollen mal das Rätsel mit der Basis 0,5 bzw. der Basis e aufklären. Die Schreibweise mit der Basis 0,5 und der Halbwertszeit im Exponenten ist nicht sehr gängig, wenngleich aber richtig.

In der Beziehung für den radioaktiven Zerfall

$\begin{eqnarray*} N(t) = N(0) \cdot e^{-kt} \end{eqnarray*}$

gilt für die Halbwertszeit $\begin{eqnarray*} t_h \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} = e^{-kt_h} \end{eqnarray*}$

Damit können wir so von der Basis e auf die Basis 0,5 umsteigen:

$\begin{eqnarray*} e^{-k} = \left( \frac{1}{2} \right) ^{\frac{1}{t_h}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-kt} = 0,5^{\frac{t}{t_h}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(t) = N(0) \cdot 0,5^{\frac{t}{t_h}} \end{eqnarray*}$

Damit ist gezeigt, dass beide Schreibweisen richtig sind.

----------------------

Die Gleichung $\begin{eqnarray*} z = \log t = ^a \log t \end{eqnarray*}$ wird theoretisch mittels der Umkehrung $\begin{eqnarray*} t = a^z \end{eqnarray*}$ gelöst.

Allerdings brauchst du dies hier nicht, weil das ohnehin nicht richtig ist:

Zitat:

Original von iphigenie
...
$\begin{eqnarray*} log \frac{10g}{50g}=log \frac{1}{25}+ log t \end{eqnarray*}$
...

Diese Umformung gefällt gar nicht! geschockt

mY+

22.01.2007, 14:39

iphigenie

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hmm, wie denn? ich hab keine ahnung.

22.01.2007, 14:48

mYthos

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Ausgehend von der Gleichung

$\begin{eqnarray*} 10g=50g\cdot 0,5^{\frac{1}{25}\cdot t} \end{eqnarray*}$

formen wir noch um (durch 50 dividieren) zu

$\begin{eqnarray*} 0,2 = 0,5^{\frac{t}{25}} \end{eqnarray*}$

Nun logarithmiere die Gleichung, aber richtig!

[Hinweis: $\begin{eqnarray*} \log a^n = n \cdot \log a \end{eqnarray*}$ ]

mY+

22.01.2007, 14:49

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Was dort steht sollte doch so sein - bzw.: Wo ist deine 0,5^ hin?:

$\begin{eqnarray*} \frac{10 \mathrm{g}}{50 \mathrm{g}}&&=0,5^{\frac{1}{25}t} \end{eqnarray*}$

Jetzt damit weitermachen und bedenke: Was du auf EINER Seite machst, musst du auf der ANDEREN genauso machen!

EDIT: Da war wohl jemand schneller...

22.01.2007, 14:56

mYthos

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@MI

die g sollte man aus der Gleichung langsam weglassen Augenzwinkern

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