Grenzfunktion bestimmen

17.03.2012, 11:53

Lunali

Grenzfunktion bestimmen

Meine Frage:
Hallo kann mir jemand bei der Aufgabe helfen? Gibt es dabei ein Muster nach dem man vorgehen kann?

Betrachte die Folge von Funktionen mit n größer gleich 0 auf dem Intervall (0,1) welche gegeben ist durch

$\begin{eqnarray*} f_{n} (x):= \sum\limits_{k=0}^n x^{k} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Kann man hierbei was mit dem Konverganzradius machen, Euler, Cauchy-Hadamard...?

17.03.2012, 12:02

Mulder

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RE: Grenzfunktion bestimmen
Wirf mal einen Blick auf die Herleitung der Formel für die Partialsummen der geometrischen Reihe.

Eine solche liegt hier ja vor. Der Grenzübergang liefert dann die Grenzfunktion. Hattet ihr die geometrische Reihe schon?

17.03.2012, 12:09

Lunali

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ja die hatten wir zwar schon, aber trotzdem versteh ich nicht was du meinst :/

17.03.2012, 12:45

Mulder

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Ich find's immer ein bisschen schade, wenn nach wenigen Minuten gleich so ein vernichtendes Fazit kommt, denn allzu viel hast du dich, wenn man die Zeit für Lesen und Schreiben abzieht, nicht damit beschäftigt, oder? Haben diese Aufgaben nicht auch irgendwo den Sinn, dass man sich mit ihnen beschäftigt?

Für die geometrische Reihe (bzw. ihre n-te Partialsumme) gibt es eine einfache Lösungsformel. Das ist eine andere Darstellung deiner Funktionenfolge, die einfacher zu handhaben ist. Schreib sie dir mal hin und schau dann weiter.

17.03.2012, 16:40

Lunali

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Es ist ja nicht das erste mal, dass ich mich damit beschäftige. Das ist eine der Aufgaben, die ich letztes Semester nicht verstanden hab bzw. die Lösung nicht nachvollziehen konnte.

Meinst du $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ ?

17.03.2012, 17:34

Mulder

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Ich meinte erstmal die n-te Partialsumme:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n}x^k = \frac{1-x^{n+1}}{1-x} \end{eqnarray*}$

Das liefert dir doch eine nette Darstellung deiner Funktionenfolge:

$\begin{eqnarray*} f_n(x)= \frac{1-x^{n+1}}{1-x} \quad , \quad x \in (0,1) \end{eqnarray*}$

Die Grenzfunktion kennst du ja schon, die hast du genannt. Wenn man die geometrische Reihe bereits kennt, ist es etwas banal, die Grenzfunktion zu bestimmen. fn konvergiert offensichtlich punktweise gegen f=1/(1-x).

Nach gleichmäßiger Konvergenz ist nicht gefragt? Das wäre nämlich eine recht typische Aufgabe...

19.03.2012, 15:09

Lunali

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Die Aufgabe ist so wie ich sie im ersten Beitrag genannt habe, aber ich denke das auch nach gleichmäßiger Konvergenz gefragt ist. Wie würde ich dann vorgehen?

19.03.2012, 18:09

Mulder

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Zitat:

Original von Lunali
Wie würde ich dann vorgehen?

Na, mit der Definition von gleichmäßiger Stetigkeit. Überprüfe, ob fn auf (0,1) gleichmäßig gegen f=1/(1-x) konvergiert oder nicht.

Aber ich weiß ja nun auch nicht, ob es wirklich Teil der Aufgabe ist. Wenn in der Aufgabe nichts davon steht, kann es ja auch sein, dass du das gar nicht musst. Ich sagte nur, dass das eine typische Aufgabe ist. Und es muss ja auch erstmal in der VL dran gewesen sein...

19.03.2012, 21:42

Lunali

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Also macht man das genau so als wäre es keine Potenzfunktion mit

$\begin{eqnarray*} | f_{n}(x)-f(x) | < epsilon \end{eqnarray*}$

19.03.2012, 22:04

Mulder

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Nun, für die gleichmäßige Konvergenz musst du für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ finden, so dass diese Gleichung für jedes $\begin{eqnarray*} n>n_0 \end{eqnarray*}$ erfüllt ist. Und zwar unabhängig von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , das ist das entscheidende (da liegt der Unterschied zur punktweisen Konvergenz).

Aber um es dir zu erleichtern: Das wird dir hier nicht gelingen. Auf (0,1) ist fn nicht gleichmäßig konvergent. Versuch, es zu widerlegen.

20.03.2012, 21:59

Lunali

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Hm.. gibt es denn kein Verfahren mit dem man bei Potenzreihen gleichmäßige Konvergenz beweusen kann? Cauchy-Hadamard? Euler?

20.03.2012, 23:26

Mulder

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RE: Grenzfunktion bestimmen
Ich hab dir doch das Verfahren genannt, nach dem du vorgehen musst.

Was soll jetzt Cauchy-Hadamard? Wir sind hier bei gleichmäßiger Konvergenz, was hat das mit Konvergenzradien zu tun??

25.03.2012, 11:17

Lunali

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Also in meinen Lösungen steht:

$\begin{eqnarray*} f_{n} (x):= \sum\limits_{k=0}^n x^{k} \end{eqnarray*}$

Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} x_{0} = 0 \end{eqnarray*}$

Konvergenzradius: $\begin{eqnarray*} r= \frac{1}{\lim sup \sqrt[n]{1} } = 1 \end{eqnarray*}$

=> auf (0,1) gleichmäßig konvergent und
$\begin{eqnarray*} f_{n} (x):= \sum\limits_{k=0}^n x^{k} \end{eqnarray*}$ für n gegen unendlich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$

Wofür ist denn der Entwicklungspunkt? und woher weiß ich jetzt das das gleichmäßig konvergent ist?

25.03.2012, 14:50

Mulder

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Zitat:

Original von Lunali
Wofür ist denn der Entwicklungspunkt?

Schau einfach nochmal auf die allgemeine Form einer Potenzreihe. Dann siehst du, was es mit dem $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ auf sich hat. Du gibst ja an, in welcher Umgebung dieses Entwicklungspunktes die Potenzreihe konvergiert (in ihrem Entwicklungspunkt konvergiert ja logischerweise jede Potenzreihe). Divergent ist eine Potenzreihe, wenn sie NUR in ihrem Entwicklungspunkt konvergiert.

Zitat:

Original von Lunali
und woher weiß ich jetzt das das gleichmäßig konvergent ist?

Das weißt du gar nicht, weil's nicht stimmt (wie ich weiter oben ja schon sagte). Auf (0,1) ist diese Funktionenfolge nicht gleichmäßig konvergent. Das sieht man schon allein daran, dass f auf (0,1) nicht beschränkt ist. Sie wäre gleichmäßig konvergent, wenn man statt (0,1) ein Intervall (0,a) betrachten würde mit einem festen 0<a<1.

31.03.2012, 19:33

Lunali

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Na super und sowas ist eine Lösung aus der Uni.. unglücklich

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Grenzfunktion bestimmen

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