AWP ohne eind. lösung

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17.03.2012, 13:19	Susi101	Auf diesen Beitrag antworten »
AWP ohne eind. lösung hallo, ich habe bei ner aufgabe ien problem. ich soll zeigen, dass u:R->R genau dann lösung des AWP $\begin{eqnarray} u'=2\sqrt{\|u\|} \end{eqnarray}$ ist, wenn es a,b mit $\begin{eqnarray} -\infty \leq a\leq 0\leq b\leq \infty \end{eqnarray}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray} u(t)= -(t-a)^2 , t<a \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} u(t)= 0, a\leq t\leq b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u(t)= (t-b)^2 , t>b \end{eqnarray}$ leider hab ich gar keine idee was ich machn soll? kann mir jemand weiterhelfen???
17.03.2012, 13:52	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: AWP ohne eind. lösung AWP steht für Anfangswertproblem - in dem Fall hast du aber keinen Anfangswert angegeben. Die Rückrichtung ist nur nachprüfen, dass es die Differentialgleichung löst. Die Hinrichtung kann man mit Trennung der Variablen bekommen (ich hoffe das hieß so).
18.03.2012, 15:37	Susi101	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: AWP ohne eind. lösung ach es gilt noch u(0)=0. wie muss ich vorgehen, um nachzuprüfen, dass es die DGl löst??
18.03.2012, 15:55	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: AWP ohne eind. lösung Du hast ein $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ gegeben, leite doch ab und gucke, ob es $\begin{eqnarray} u' = 2 \sqrt{\|u\|} \end{eqnarray}$ erfüllt, und ob $\begin{eqnarray} u(0) = 0 \end{eqnarray}$ gilt.
18.03.2012, 19:35	Susi101	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: AWP ohne eind. lösung wenn ich u ableite bekomme ich, $\begin{eqnarray} u'(t)=-2(t-a), t<a \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} u'(t)=0, a\leq t\leq b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u'(t)=-2(t-b), t>b \end{eqnarray}$ und nun? die wurzel bekomme ich durch die ableitung nicht
18.03.2012, 23:05	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: AWP ohne eind. lösung Was ist denn $\begin{eqnarray} 2 \sqrt{\|u\|} \end{eqnarray}$ für z.B. $\begin{eqnarray} -\infty \leq t \leq a \end{eqnarray}$ ? Wir setzen u einfach mal ein und erhalten: $\begin{eqnarray} 2 \sqrt{\|(t-a)^2\|} \end{eqnarray}$ . Wenn man nun die Wurzel aus dem Quadrat zieht, sieht es schon sehr nach der Ableitung aus. Nun muss man sich noch überlegen, woher das Minus herkommt.
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19.03.2012, 10:41	Susi101	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: AWP ohne eind. lösung das minus kommt vom betrag, weil t<=a ist. muss ich das für die anderen beiden ableitungen auch so machen? und das wars dann schon??
19.03.2012, 10:46	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: AWP ohne eind. lösung Dann hast du die Rückrichtung gezeigt. Wobei du beachten solltest, dass die Funktion C^1 sein soll, also auch an den Stellen a und b differenzierbar sein muss, und die Gleichung erfüllt. Es wäre besser gewesen, wenn ich oben $\begin{eqnarray} -\infty < t < a \end{eqnarray}$ geschrieben hätte. Für die Hinrichtung musst du die Differentialgleichung allgemein lösen und auf das u kommen. Und dann bist du fertig, ja.
19.03.2012, 11:03	Susi101	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: AWP ohne eind. lösung muss ich die differentialgleichung einfach integrieren?
19.03.2012, 11:13	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: AWP ohne eind. lösung "Einfach" integrieren würde ich nicht sagen, aber das ist der Grundgedanke ja. Wenn du einfach nur die Differnetialgleichung nach t integrierst, hast du links zwar u = stehen, aber die rechte Seite bekommst du nicht einfach geknackt, weil du die Stammfunktion zu $\begin{eqnarray} \sqrt{\|u\|} \end{eqnarray}$ kennen müsstest, was für allgemeines u wohl nicht machbar ist. Aber es gibt Lösungsverfahren, wie "Trennung der Variablen", was ich vorher angesprochen habe, mit denen man die Lösung herleitung kann.
19.03.2012, 11:27	Susi101	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: AWP ohne eind. lösung ok also ich bring $\begin{eqnarray} \sqrt{\|u\|} \end{eqnarray}$ auf die linke seite. dann hab ich $\begin{eqnarray} \frac{u'}{\sqrt{\|u\|} }=2 \end{eqnarray}$ , dann integrier ich links nach u und recht nach t. $\begin{eqnarray} \frac{u}{\frac{2}{3}\|u\|^{\frac{3}{2} } }=2t \end{eqnarray}$ und dann nach u auflösen oder? aber da bekomm ich dann $\begin{eqnarray} u=\frac{9}{16t^2} \end{eqnarray}$ ???
19.03.2012, 11:34	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: AWP ohne eind. lösung $\begin{eqnarray} \int \frac{f}{g} \neq \frac{\int f}{\int g} \end{eqnarray}$ . Man schreibt sich als Merkregel $\begin{eqnarray} u' = \frac{du}{dt} \end{eqnarray}$ um, multipliziert $\begin{eqnarray} dt \end{eqnarray}$ rüber und schreibt auf beiden Seiten das Integral und dann stehen da legitime Integrale, die du lösen kannst.
19.03.2012, 11:35	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
(zu spät)
19.03.2012, 11:53	Susi101	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: AWP ohne eind. lösung also ich muss schon $\begin{eqnarray} \frac{u'}{\|u\|^{1/2}} \end{eqnarray}$ nach u integrieren oder? ich habs jetzt mal mit der partiellen integration versucht, aber iwie kommt da auch was komisches raus..
19.03.2012, 12:00	Susi101	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: AWP ohne eind. lösung $\begin{eqnarray} =\int \! u'\frac{1}{\sqrt{u} } \, du =\left[u\frac{1}{\sqrt{u} }\right] -\int \! u\frac{1}{0,5u^{-0,5}} \, du=\left[u\frac{1}{\sqrt{u} }\right]-2\int \! u^{3/2} \, du \end{eqnarray*}$ stimmt das soweit?
19.03.2012, 12:00	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: AWP ohne eind. lösung Man startet mit $\begin{eqnarray} u'=2\sqrt{\|u\|} \end{eqnarray}$ und schreibt es dann so um, wie ich vorhin geschrieben habe. Diese Integrale sind dann ziemlich leicht lösbar.
19.03.2012, 12:11	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
@Susi101 Eine kurze Frage: Weißt du überhaupt, was du da mit $\begin{eqnarray} \int \! u'\frac{1}{\sqrt{u} } \, du \end{eqnarray}$ schreibst? Das ist zusammengestoppelte Symbolik, die so keinen Sinn mehr ergibt: $\begin{eqnarray} u' = \frac{\dd u}{\dd t} \end{eqnarray}$ beinhaltet bereits das $\begin{eqnarray} \dd u \end{eqnarray}$ , dies dann nochmal multiplikativ ranzutackern, macht nicht den geringsten Sinn im Integral. Kurzum, das Integral links lautet nur $\begin{eqnarray} \int \frac{1}{\sqrt{u}} ~ \dd u \end{eqnarray*}$ .
19.03.2012, 12:12	Susi101	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: AWP ohne eind. lösung mhh also u'dt=du $\begin{eqnarray} <=> 2\sqrt{\|u\|}dt =du <=> 2\sqrt{\|u\|}t= u \end{eqnarray*}$
19.03.2012, 12:36	Susi101	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: AWP ohne eind. lösung $\begin{eqnarray} 2dt= \frac{du}{\sqrt{\|u\|}} <=>2t=\frac{2}{3} u^{3/2}<=> u=(3t)^{2/3} \end{eqnarray*}$ stimmt das so?
19.03.2012, 12:42	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: AWP ohne eind. lösung $\begin{eqnarray} dt \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} du \end{eqnarray}$ sind feste Ausdrücke, und sind nicht das gleiche wie $\begin{eqnarray} d\cdot t \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} d\cdot u \end{eqnarray}$ ! Insb. darfst du d nicht einfach nach beliebem kürzen! Der erste Schritt in dem neuen Post ist schon gut - das ist aber erst einmal nur ein formaler Ausdruck, mathematisch gesehen macht er nicht wirklich Sinn - es ist einfach nur eine Merkregel für einen Satz. Was man an der Stelle macht ist Integrale auf beide Seiten schreiben. Das $\begin{eqnarray} dt \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} du \end{eqnarray}$ nimmt dann das klassische Ende des Integrals an. D.h. man integriert links nach t, und rechts nach u.
19.03.2012, 13:06	Susi101	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: AWP ohne eind. lösung ja, das hab ich ja gemacht, links nach t integriert und rechts nach u und dann nach u aufgelöst, dann kam das obige raus...
19.03.2012, 13:09	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: AWP ohne eind. lösung Ok, nun hast du $\begin{eqnarray} \|u\|^{-0.5} \end{eqnarray}$ falsch integriert, deine Stammfunktion ist für $\begin{eqnarray} u^{0.5} \end{eqnarray}$ . Du solltest also erst einmal eine Fallunterscheidung machen (ich würde mit u > 0 anfangen), und dann die richtige Stammfunktion bestimmen, und noch daran denken, dass man beim integrieren eine additive Konstante bekommt (das berühmte b in der Aufgabenstellung).
19.03.2012, 13:34	Susi101	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: AWP ohne eind. lösung ich habs fast also ich hab jetz für u>0: $\begin{eqnarray} 2\sqrt{u} +b \end{eqnarray}$ und für u<0: $\begin{eqnarray} -2\sqrt{u} +a \end{eqnarray}$ dann muss ich das mit 2t gleichsetzen und nach u auflösen, oder? für das erste bekomm ich $\begin{eqnarray} 2t=2\sqrt{u} +b =>u=(t-0,5b)^2 \end{eqnarray}$ das stimmt ja eigentlich schon fast mit der aufgabe. nur das 0,5 stört....
19.03.2012, 13:37	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: AWP ohne eind. lösung b ist ja nur eine Konstante, du kannst dir ja eine neue Konstante b' = 0.5b definieren. Man müsste sich jetzt nur noch überlegen, warum b bzw. b' wirklich größer gleich 0 sein muss.
19.03.2012, 13:40	Susi101	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: AWP ohne eind. lösung schon mal vielen dank das ist ja eig in der aufgabenstellung so vorgegeben, dass b>=0...
19.03.2012, 13:49	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: AWP ohne eind. lösung Du sollst ja folgern, dass es ein b >= 0 gibt, so dass u diese Form hat. Es könnte ja sein, dass deine Formel nur für b < 0 das gewünschte liefert. Wenn ich es mir gerade noch einmal anschaue, ist es mehr eine kleine technische Kleinigkeit.
19.03.2012, 13:55	Susi101	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: AWP ohne eind. lösung keine ahnung? hats vielleicht iwas mit dem t zu tun??
19.03.2012, 14:01	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: AWP ohne eind. lösung Es ist erst einmal für alle reellen Zahlen eine Lösung, wenn man den Anfangswert weglässt, insb. findest du eine positive, wenn du willst. Das Problem kommt also wenn du u(0) = 0 noch mit einbeziehen musst. Wenn b negativ ist, gilt insb. b < 0, und deine Lösung soll für alle t > b gelten.
19.03.2012, 14:10	Susi101	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: AWP ohne eind. lösung kein plan was ich machen soll. u(0) =(0-b)^2 das sagt ja auch nichts aus......
19.03.2012, 14:14	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: AWP ohne eind. lösung Man müsste minimal vorsichtiger an die Sache gehen, aber du hast nun u(0) = b^2 und damit ist es nicht 0, da b negativ war. Damit hast du schon deinen Widerspruch. Du solltest dir aber klar machen, warum dieses Argument nicht funktioniert, wenn b > 0 ist.

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