Lipschitz-Konstante bestimmen

17.03.2012, 13:54	Yakmiras	Auf diesen Beitrag antworten »
Lipschitz-Konstante bestimmen Moin, gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray} f:I:=[3,4]\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto\frac{1}{x(x-2)} \end{eqnarray}$ Zu bestimmen ist eine minimale Konstante L, so dass $\begin{eqnarray} \forall x_1,x_2\in I:\left\|f(x_1)-f(x_2)\right\|\leq L\left\|x_1-x_2\right\| \end{eqnarray}$ Mein Ansatz ist erstmal $\begin{eqnarray} \left\|f(x_1)-f(x_2)\right\|=\left\|\frac{1}{x_1(x_1-2)}-\frac{1}{x_2(x_2-2)}\right\|=\left\|\frac{x_1+x_2-2}{x_1x_2(x_1-2)(x_2-2)}\right\|\left\|x_1-x_2\right\| \end{eqnarray}$ Nun muss ich ja das Maximum des linken Terms finden, um meine Konstante L zu finden. Hier fehlt mir leider der Ansatz. Ich habe überlegt, ob sich da per Differentialrechnung was machen lässt, aber da verwirrt mich irgendwie, dass der Term ja von zwei Variablen abhängt. Wir haben bis jetzt nur Differentialrechnung in einer Variablen gemacht. Hat jemand einen Tipp?
17.03.2012, 13:57	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu Umständlich Tipp: Mittelwertsatz
17.03.2012, 17:16	Yakmiras	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für den Tipp, ich versuche es mal: Seien $\begin{eqnarray} x_1,x_2\in I \end{eqnarray}$ . Dann gilt nach dem Mittelwertsatz: Es existiert ein $\begin{eqnarray} \xi\in (x_1,x_2) \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} \left\|f'(\xi)\right\|\left\|(x_2-x_1)\right\|=\left\|f(x_2)-f(x_1)\right\| \end{eqnarray}$ . Es geht also darum, $\begin{eqnarray} f'(x) \end{eqnarray}$ betragsmäßig zu maximieren. Da $\begin{eqnarray} f'(x) \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ keine Extrema hat, muss das betragsmäßige Maximum also in den Randpunkten von $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ , d.h. 3 oder 4 sein. Es gilt $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{2-2x}{x^2(x-2)^2} \end{eqnarray}$ und folglich $\begin{eqnarray} f'(3)=-\frac{4}{9} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(4)=-\frac{16}{56} \end{eqnarray}$ Das betragsmäßige Maximum liegt also bei $\begin{eqnarray} \frac{4}{9} \end{eqnarray}$ und es folgt $\begin{eqnarray} \forall x_1,x_2\in I:\left\|f(x_1)-f(x_2)\right\|\leq\frac{4}{9}\left\|x_1-x_2\right\| \end{eqnarray}$ Sieht für mich erstmal okay aus, das Problem ist nur, dass in der Lösung $\begin{eqnarray} L=\frac{2}{3} \end{eqnarray}$ angegeben ist.
17.03.2012, 18:50	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Also deine Lösung korrekt. Da die $\begin{eqnarray} \frac{2}{3} \end{eqnarray}$ größer als deine Lösung sind, ist die allerdings auch nicht falsch Wie man allerdings darauf kommt weiß ich jetzt auch nicht.
18.03.2012, 12:15	Yakmiras	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke!
22.07.2014, 17:05	SlewiG	Auf diesen Beitrag antworten »
f'(4) sollten doch eigentlich -3/32 sein oder etwa nicht?
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