Lagrange'sche Multiplikatoren

17.03.2012, 14:22	senyx	Auf diesen Beitrag antworten »
Lagrange'sche Multiplikatoren Hallo zusammen, folgende Funktion $\begin{eqnarray} f(x,y,z) = x \cdot y \cdot z \end{eqnarray}$ soll unter den folgenden Nebenbedingungen maximiert werden. 1.NB: $\begin{eqnarray} x \cdot y + y \cdot z + x \cdot z = a \end{eqnarray}$ 2.NB: $\begin{eqnarray} x + y + z = b \end{eqnarray}$ Ich habe den Ansatz der Lagrange'schen Multiplikatoren gewählt und hab dann folgende Funktion: $\begin{eqnarray} F(x,y,z,\lambda_1, \lambda_2) = x \cdot y \cdot z - \lambda_1 \cdot (x \cdot y + y \cdot z + x \cdot z - a) - \lambda_2 \cdot (x + y + z - b) \end{eqnarray}$ Für die Extrema benötige ich nun den Gradienten: $\begin{eqnarray} grad F(x,y,z,\lambda_1,\lambda_2) = \vec 0 \end{eqnarray}$ . Dabei bekomme ich nun 5 Ableitungen, die ich 0 setze: I) $\begin{eqnarray} F_x = y \cdot z - \lambda_1 \cdot (y + z) - \lambda_2 = 0 \end{eqnarray}$ II) $\begin{eqnarray} F_y = x \cdot z - \lambda_1 \cdot (x + z) - \lambda_2 = 0 \end{eqnarray}$ III) $\begin{eqnarray} F_z = x \cdot y - \lambda_1 \cdot (x + y) - \lambda_2 = 0 \end{eqnarray}$ VI) $\begin{eqnarray} F_{\lambda_1} = -(x \cdot y + y \cdot z + z \cdot x - a) = 0 \end{eqnarray}$ V) $\begin{eqnarray} F_{\lambda_2} = -(x + y + z - b) = 0 \end{eqnarray}$ Leider weiß ich keinen Weg, wie ich dieses Gleichungssystem auflösen könnte. Ich hoffe, es kann mir hier jemand weiterhelfen.
17.03.2012, 16:59	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Subtrahiere die Gleichungen 1 und 2 bzw. 2 und 3. Die sich daraus ergebende triviale Lösung x = y = z ist zu verwerfen, weil sie die Nebenbedingungen nicht erfüllt (warum?). Somit kommt $\begin{eqnarray} x = z = \lambda_1 \end{eqnarray}$ und es bleiben zwei Gleichungen in $\begin{eqnarray} \lambda_1 \end{eqnarray}$ und y Übrigens sind die Ableitungen (IV, V) nach den Multiplikatoren unnötig, denn sie ergeben schließlich wieder die beiden Nebenbedingungen, wie sie schon vorher dagestanden waren. Daher kann man dann direkt dort einsetzen. mY+
19.03.2012, 22:52	senyx	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank erstmal! Ich habe deinen Rat befolgt und habe nun die angesprochenen Lösungen herausbekommen. Was mir allerdings vollkommen schleierhaft ist: warum erfüllt die triviale Lösung x=y=z die beiden Nebenbedingungen nicht? (IV) $\begin{eqnarray} x^2+x^2+x^2=3x^2=a \end{eqnarray}$ (V) $\begin{eqnarray} x+x+x=3x=b \end{eqnarray}$ (V) $\begin{eqnarray} x=\frac{b}3 \end{eqnarray}$ in (IV) (IV) $\begin{eqnarray} a=\frac{b^2}3 \end{eqnarray}$ Also würden die Nebenbedingungen ja für $\begin{eqnarray} a=\frac{b^2}3 \end{eqnarray}$ erfüllt sein?
20.03.2012, 09:28	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
a und b sind doch feste, gegebene Zahlen. Und es ist im Allgemeinen NICHT anzunehmen, dass gerade $\begin{eqnarray} b^2 = 3a \end{eqnarray}$ ist. Davon bin ich ausgegangen. Aber du hast natürlich Recht, für diesen einen Fall existiert auch diese Lösung! mY+

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