zeige sin(x)=2 e

17.03.2012, 14:59	Silverback	Auf diesen Beitrag antworten »
zeige sin(x)=2 e Hallo liebe forengemeinde, Ich stehe mal wieder vor einem kleinen mathematischen problem. Ich soll zeigen, dass sin(x) fuer ein x aus den komplexen zahlen den wert 2 annehmen kann. Nun habe ich bisher diesen ansatz: z=x+jy sin(z)=2=sin(x)cos(jy)+cos(x)sin(jy)=sin(x)cosh(y)+jcos(x)sinh(y) Nun sage ich: setze x=0 und dann wuerde folgen: 2=jsinh(y) Nur wie rechne ich nun weiter? Mit der definition des sinh ueber die e-funktion oder wie? Und dann noch eines: ist dieser ansatz ueberhaupt korrekt, da ich ja einfach einen wert als null definiere.... Fuer einen kleinen tipp waere ich sehr dankbar. Lg
17.03.2012, 15:22	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, dein Ansatz kann nicht aufgehen, denn du hast mit $\begin{eqnarray} x = 0 \end{eqnarray}$ rein komplexe Werte, da kann niemals 2 rauskommen. Setze $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ als passende Nullstelle des Cosinus. Dann fällt der imaginäre Teil schonmal weg. Welchen Wert hat dann $\begin{eqnarray} sin(x) \end{eqnarray}$ ? Nutze dann die Eigenschaften von $\begin{eqnarray} cosh \end{eqnarray}$ . mfg
17.03.2012, 15:32	Silverback	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay damit komme ich dann auf: 2=sin(pi/2)*cosh(y) 2=cosh(y) 4=e^x+e^-x Aber da weiss ich dann auch schon wieder nicht mehr so recht weiter....
17.03.2012, 15:36	Silverback	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder musss ich dann einfach nur substituieren und diese gleichung loesen: Exp(2x)-4*Exp(x)+1=0 Das koennte ich mir noch vorstellen, wenn das denn nicht schon wieder vollkommen falsch iist....
17.03.2012, 15:43	Silverback	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit komme ich dann auf die loesungen: x1=ln(2+sqrt(3)) x2=ln(2-sqrt(3)) Wobei ich ehrlich gesagt nicht recht verstehe warum es so geht und mit dem null setzen von x nicht.... Meine endergebnisse waeren jetzt doch: z1=(pi/2)+ln(2±sqrt(3))*j Oder sehe ich das falsch? Kann es denn nicht auch noch andere komplexe zahlen geben fuer die sin(z)=2 gilt? Ich meine ich habe ja nun einen wert direkt vorgegeben. Was waere wenn ich alle loesungen dieser gleichung liefern soll? Ich wuerde das so gerne verstehen....
17.03.2012, 18:28	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, die Funktion $\begin{eqnarray} cosh \end{eqnarray}$ bildet surjektiv auf die positiven Reellen Zahlen ab, also gibt es nach Definition $\begin{eqnarray} \exists x_0 \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} cosh(x_0) = 2 \end{eqnarray}$ wegen $\begin{eqnarray} cosh(x) = cosh(-x) \end{eqnarray}$ ist auch $\begin{eqnarray} -x_0 \end{eqnarray}$ eine gesuchte Lösung. Vorausgesetzt also du kennst bereits die Surjektivität. Alternativ kannst du in der Tat die Gleichung $\begin{eqnarray} 2 = cosh(y) = \frac{e^{y} + e^{-y}}{2} \end{eqnarray}$ betrachten. Diese bringst du auf die Form $\begin{eqnarray} 4e^{y} = (e^{y})^2 + 1 \end{eqnarray}$ und führst die Substitution $\begin{eqnarray} u = e^{y} \end{eqnarray}$ durch. Damit kommt man auch auf eine Lösung. Ob deine passt habe ich gerade nicht nachgerechnet, aber du kannst ja zur Probe diese Einsetzen und nachprüfen. Wenn du eine Lösung $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} sin(z) = 2 \end{eqnarray}$ gefunden hast, so sind alle weiteren Lösungen wegen der Periodizität von der Form $\begin{eqnarray} z + 2\pi \end{eqnarray}$ . mfg
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17.03.2012, 20:27	Silverback	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, damit habe ich das dann auch verstanden. Erstmal ganz herzlichen dank fuer die wunderbare erklaerung. Ich muss zugeben, dass wir diesurjektivitaet im ersten semester mal behandelt haben, aber ich habs einfach vergessen... auf die andere art mit dersubstitution klappts ja auch, daher nehme ich das mal so hin. Grundlegend, denke ich, habe ich es verstanden. Dnke nochmals
17.03.2012, 20:49	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Beachte, wenn du die Rechnung etwas allegemeiner durchführst, so lässt sich so die Surjektivität zeigen, bzw. wird häufig gerade so gezeigt für diese Funktion. mfg

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