Exponentialfunktion

17.03.2012, 15:05

Queckssilber

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Exponentialfunktion

Aufgabe:

"In einem Bienenvolk grassiert eine Seuche. Dadurch nimmt die Anzahl der Bienen exponentiell ab. Zu Beginn der Beobachtung hatte das Volk 50 000 Bienen, nach einer Woche nur noch 40 000."

a) Geben Sie die Zerfallsfunktion an.

b) Nach welchem Zeitraum hat sich die Zahl der Bienen auf die Hälfte reduziert?

c) Wie lange würde es dauern, bis die letzte Biene stirbt?

Ansatz:

a)

$\begin{eqnarray*} f(x) = c * a^{-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = \frac{50 000}{40 000} = 1,25 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = 50 000 * 1,25^{-x} \end{eqnarray*}$

b)

$\begin{eqnarray*} 25 000 = 50 000 * 1,25^{-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,5 = 1,25^{-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} lg 0,5 = -x * lg 1,25 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -x = \frac{lg 1,25}{lg 0,5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = - \frac{lg 1,25}{lg 0,5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 0,322 \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis sind ja dann 0,322 Wochen. Das kann ja nicht sein, wenn nach einer Woche schon 10 000 Bienen weg sind, kann ich nach nicht mal einer halben Woche ja keine 25 000 Bienen weg haben.

Erkennt jemand meinen Fehler?

17.03.2012, 15:09

sulo

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RE: Exponentialfunktion
Ich würde die Funktion so nennen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = c * a^x \end{eqnarray*}$

Die Berechnung für a wäre dann:

$\begin{eqnarray*} a = \frac{40 000}{50 000} = 0,8 \end{eqnarray*}$

smile

smile

17.03.2012, 15:12

Queckssilber

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Aber wieso?

Bei Abnahme hat man doch immer einen negativen Exponenten oder?

=> und wieso jetzt die kleinere Zahl durch die größere?

17.03.2012, 15:12

sulo

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Was ist denn x? Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.03.2012, 15:27

Queckssilber

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zu c):

Bis die letzte Biene stirbt, das muss ja dann 50 000 Bienen sein.

Also hab ich für f(x) "50 000" eingesetzt:

50 000 = 50 000 * 0,8^x

1 = 0,8^x

lg 1 = x lg 0,8

x = lg 1 / lg 0,8

x = 0

Das kann ja wohl nicht sein..

17.03.2012, 15:36

sulo

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Du hast mir nicht gesagt, was x ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zu c)

Zitat:

Bis die letzte Biene stirbt, das muss ja dann 50 000 Bienen sein.

Naja, dann hättest du doch wieder 50000 Bienen... verwirrt

verwirrt

Du hast den Zeitpunkt ausgerechnet, an dem du 50000 Bienen hast, und das ist ganz klar der Zeitpunkt 0, also der Beginn der Zählung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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17.03.2012, 15:38

Queckssilber

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Aaaaah stimmt.

Ich muss für B(t) = 0 einsetzen. <3

x ist doch die Zeit und die ist nu wirklich nicht negativ. smile

smile

Aber irgendwas meinte die Lehrerin doch, bei Abnahmen ist doch was negativ im Exponenten? Oder gilt das nur bei Funktionen zur Basis e?

17.03.2012, 15:47

sulo

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Das bezieht sich vermutlich auf die Basis e.

Ich würde übrigens für c) nicht 0 sondern eher 1 einsetzen.
Dann hast du die letzte Biene erwischt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.03.2012, 16:01

Queckssilber

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Ok dankeeeee. smile

smile

Aber btw.:

Um jetzt die Funktionsgleichung zur Basis e zu berechnen haben wir i.d.R. folgendes gemacht:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 50 000 * 0,8^{t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B(t) = 50 000 * e^{k * t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 50 000 * 0,8^{t} = 50 000 * e^{k * t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,8^{t} = e^{k * t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t * ln 0,8 = k * t ln e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t * ln 0,8 = k * t * 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k = \frac{t * ln 0,8}{t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k = ln 0,8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k = - 0,22 \end{eqnarray*}$

In die Ausgangsgleichung eingefügt:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 50 000 * e^{- 0,22 * t} \end{eqnarray*}$

So muss nun das k einen negativen Wert haben?

Und meine eigentliche Frage:

Kann ich auch über einen anderen Weg die Funktion zur Basis e berechnen? Oder muss ich zuerst immer die normale Funktion berechnen?

17.03.2012, 16:34

sulo

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Zunächst: Ja, k ist negativ, weil wir eine Abnahme haben.

Dann: Du kannst das k auch mit Hilfe der Angabe bestimmmen, dass nach 1 Woche noch 40.000 Bienen (von anfangs 50.000) vorhanden sind.

Beachte, dass deine Zeiteinheit (t) nach wie vor 1 Woche ist.

smile

smile

17.03.2012, 16:57

Queckssilber

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Hab ich jetzt nicht verstanden wie ich k berechnen soll um ehrlich zu sein.:s

17.03.2012, 17:03

sulo

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$\begin{eqnarray*} B(t) = 50 000 * e^{k * t} \end{eqnarray*}$

B(t) ist doch ein Wert nach einer bestimmten Zeit t.
Da nehmen wir die eingangs beschriebenen 40.000 Bienen nach einer Woche (t = 1).

Die Gleichung lautet also: $\begin{eqnarray*} 40 000 = 50 000 * e^{k * 1} \end{eqnarray*}$

Und die kann man jetzt nach k auflösen.

smile

smile

17.03.2012, 18:24

Queckssilber

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Danke danke danke danke. smile

smile

<3

17.03.2012, 18:26

sulo

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Gern geschehen. Wink

Wink

17.03.2012, 18:28

Queckssilber

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Gefällt mir sehr hier.<3

Ich komm jetzt öfters hier nachfragen und du musst mir dann helfen. smile

smile

Big Laugh

17.03.2012, 18:30

sulo

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Schau gerne öfter hier rein. Freude

Freude

Freundliche Helfer haben wir hier reichlich. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wink

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