Funktion diffbar machen - Wie?

17.03.2012, 15:21

Whitis

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Funktion diffbar machen - Wie?

Hallo!

Ich möchte wissen, wie ich bei folgender Aufgabenstellung vorgehe:

Es ist eine Funktion $\begin{eqnarray*} f_a (x) \end{eqnarray*}$ mit einer Fallunterscheidung gegeben.

Für x ungleich 0, ist es eine diffbare Funktion, die in 0 nicht definiert ist, für x gleich 0 gilt $\begin{eqnarray*} f_a (x) = a \end{eqnarray*}$

Jetzt soll ich beweisen, oder widerlegen (wobei ich denke dass es gehen müsste), dass es mindestens ein $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt, sodass die Funktion auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ diffbar ist.

Nur, wie mache ich das?

Habe theoretisch zwei Ideen:

1. Durch Taylorapproximation die gegebene, diffbare, Funktion am Punkt 0 möglichst annähern.

2. Irgendwas mit dem Mittelwertsatz (oder dem Zwischenwertsatz?)

Welche der Ideen ist richtig? Und wenn es die Zweite ist, wie gehe ich da vor?

17.03.2012, 15:41

Iorek

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Damit die Funktion auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist, müsste sie insbesondere in $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ stetig sein. Gibt es nun eine in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^* \end{eqnarray*}$ differenzierbare Funktion, die sich in $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ nicht stetig ergänzen lässt?

17.03.2012, 15:56

Whitis

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Zitat:

Original von Iorek
Damit die Funktion auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist, müsste sie insbesondere in $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ stetig sein. Gibt es nun eine in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^* \end{eqnarray*}$ differenzierbare Funktion, die sich in $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ nicht stetig ergänzen lässt?

Soll $\begin{eqnarray*} \mathbb R^* \end{eqnarray*}$ bedeuten $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ohne $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ?

Hm danke für den Tipp mit der Stetigkeit, aber deine Frage kann ich nicht beantworten.
Ich habe keine Ahnung ob es so eine gibt, wüsste auch nicht wie diese aussehen könnte, könntest du mir bitte noch mehr auf die Sprünge helfen?

17.03.2012, 20:07

Mulder

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Was wäre denn das allereinfachste Beispiel einer auf R* (ja, das heißt R ohne Null) diffbaren Funktion, die in 0 nicht definiert ist? Du kommst wahrscheinlich nicht drauf, weil es zu einfach ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.03.2012, 00:15

Whitis

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Zitat:

Original von Mulder
Was wäre denn das allereinfachste Beispiel einer auf R* (ja, das heißt R ohne Null) diffbaren Funktion, die in 0 nicht definiert ist? Du kommst wahrscheinlich nicht drauf, weil es zu einfach ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das wäre ja zu schön, wenn das nur daran liegen würde, dass es zu einfach ist!

Vielleicht jegliches der Form $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ u.ä.?

Aber selbst wenn ich so eine Funktion gefunden habe, was hilft die mir? Dann habe ich doch nur ein Beispiel dafür, dass es mindestens eine Funktion gibt, die das Benötigte nicht erfüllt.
Und ich soll ja eine Funktion angeben, die das Benötigte erfüllt (oder beweisen, dass es keine solche gibt).

18.03.2012, 15:58

Iorek

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Wie lautet denn der genaue Wortlaut der Aufgabe?

Bisher gehe ich davon aus:
Es sei $\begin{eqnarray*} f_a(x) \end{eqnarray*}$ eine auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ definierte Funktion, welche auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^* \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist und $\begin{eqnarray*} f_a(0)=a \end{eqnarray*}$ erfüllt.

Behauptung: für ein geeignetes $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ ist die Funktion auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ differenzierbar.

Wenn das die Aufgabe ist und du ein Gegenbeispiel findest, die alle Voraussetzungen erfüllt, sich aber eben für kein $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ so fortsetzen lässt, dann ist die Behauptung falsch und du bist fertig.

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18.03.2012, 21:17

Whitis

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Zitat:

Original von Iorek
Wie lautet denn der genaue Wortlaut der Aufgabe?

Bisher gehe ich davon aus:
Es sei $\begin{eqnarray*} f_a(x) \end{eqnarray*}$ eine auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ definierte Funktion, welche auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^* \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist und $\begin{eqnarray*} f_a(0)=a \end{eqnarray*}$ erfüllt.

Behauptung: für ein geeignetes $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ ist die Funktion auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ differenzierbar.

Wenn das die Aufgabe ist und du ein Gegenbeispiel findest, die alle Voraussetzungen erfüllt, sich aber eben für kein $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ so fortsetzen lässt, dann ist die Behauptung falsch und du bist fertig.

Du hast die Aufgabenstellung verstanden, ist richtig so.

Aber es reicht doch nicht, dass ich ein Gegenbeispiel finde?
Wenn ich sage "Es gibt ein a, so dass es differenzierbar ist", dann habe ich doch nichts widerlegt indem ich einfach sage "Hier hast du ein a, sodass es nicht differenzierbar ist". Dann schließt ja nicht aus, dass es irgendwo ein a geben könnte.

Jedoch verstehe ich nicht was du meinst, mit "sich aber für kein $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ so fortsetzen lässt"?
Und selbst wenn ich dann so ein a finde, dass alle Voraussetzungen erfüllt, sich aber nicht fortsetzen lässt (?), dann habe ich doch noch längst nicht gezeigt, dass es für kein anderes funktioniert?

18.03.2012, 21:34

Whitis

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http://h9.abload.de/img/rznrn5rbchzy2.jpg

Da ist die Aufgabenstellung. Vielleicht habe ich einfach wieder zu verwirrend geschrieben oder ich weiß nicht was.

18.03.2012, 21:36

Iorek

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Wenn die Behauptung für eine beliebige, auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^* \end{eqnarray*}$ differenzierbare Funktion gelten soll, dann reicht in der Tat ein Gegenbeispiel.

Wir nehmen die Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R,~x\mapsto \begin{cases} \frac 1x & x\neq 0 \\ a & x=0 \end{cases} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ ist. Jetzt kommt die Stetigkeit ins Spiel, welche eine notwendige Voraussetzung für die Differenzierbarkeit ist.

1. Erfüllt diese Funktion die geforderten Bedingungen?
2. Lässt sie sich in 0 stetig fortsetzen? Wenn ja, wie muss das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ dann gewählt werden?

Nachtrag auf deinem zweiten Post:

Und schon haben wir doch wieder eine ganz andere Aufgabe, auf einmal ist es keine beliebige differenzierbare Funktion auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^* \end{eqnarray*}$ mehr, sondern eine ziemlich konkret angegebene. unglücklich

unglücklich

18.03.2012, 22:38

Whitis

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Tut mir Leid unglücklich

unglücklich

Ich hab gehofft es ist irgendwie beliebig bzw. mit den zwei Methoden die ich am Anfang vorgeschlagen habe..

18.03.2012, 22:46

Iorek

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Natürlich ist es nicht beliebig, der Unterschied zwischen einer Aussage zu einer konkreten Funktion und einer Aussage über eine beliebige (differenzierbare) Funktion ist doch erheblich.

Hier kommst du aber trotzdem mit einer Stetigkeitsbegründung ans Ziel, damit die Funktion differenzierbar ist, muss sie insbesondere stetig sein. Bestimme also das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ so, dass die Funktion stetig fortgesetzt wird, danach kann man sich über die Differenzierbarkeit unterhalten.

19.03.2012, 09:37

Whitis

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Ich wüsste aber nicht, was das für eine sein soll. Und noch mal Verzeihung für die vemurkste Aufgabenstellung!

Wenn ich den cosinus Ausdruck für x gegen 0 laufen lasse, dann bekomme ich ja (da das x im Nenner ist) eine beliebig große Zahl im cosinus und damit insgesamt keine feste Zahl, sondern je nach Zahl etwas zwischen -1 und 1.

Und wenn ich jetzt eine Funktion haben will die stetig ist, müsste diese doch sowohl beim rechtsseitigen, als auch beim linksseitigen Grenzwert nach 0, gegen dieses Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ laufen, und auch das Bild müsste einem Intervall entsprechen und keiner festen Zahl.

Bedeutet dass dann, dass es eben keine solche gibt? Weil das einzige was mir gerade einfällt, wo der rs und ls Grenzwert gegen $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ konvergiert und auch das Bild, wäre wieder eine cos/sin Funktion mit Quotientem und x im Nenner, was ja aber für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ nicht definiert ist.

Bin wahrscheinlich wieder auf dem falschen Dampfer, hm.

19.03.2012, 09:49

Iorek

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Du bist nicht auf dem falschen Dampfer.

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to 0} \cos(\frac 1{x^2}) \end{eqnarray*}$ existiert nicht, also existiert auch nicht der links- bzw. rechtsseitige Limes, also lässt sich die Funktion in 0 nicht stetig fortsetzen.

19.03.2012, 10:18

Whitis

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Was für eine Geburt Big Laugh

Big Laugh

Vielen Dank für die Hilfe Mulder und Iorek! Habt mir sehr geholfen!

19.03.2012, 13:56

Hasenzahn

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Hi, wurde folgende Trivialität eigentlich ausgeschlossen:

$\begin{eqnarray*} \forall x>0: f(x)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \forall x<0: f(x)=0 \end{eqnarray*}$ .

zudem ist eine Abbildung die sich in der Null stetig fortsetzten lässt, noch nicht die Lösung des ganzen sein kann, wie $\begin{eqnarray*} f(x)=|x| \end{eqnarray*}$ zeigt.

19.03.2012, 14:01

Iorek

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Dass die Stetigkeit in 0 ausreicht, wurde auch nie behauptet. Sie ist aber notwendig, um überhaupt eine differenzierbare Funktion konstruieren zu können.

19.03.2012, 14:02

Hasenzahn

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Richtig, wie Du an der falschen Grammatik im letzten Satz erkennen kannst, habe ich dies leider wegeditiert. Danke für den Hinweis.

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