Zahlentheorie, Umformungen

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20.01.2007, 16:06	frustriert	Auf diesen Beitrag antworten »
Zahlentheorie, Umformungen Ich bin (noch) kein Mathestudent, möchte aber meine Facharbeit über ein zahlentheoretisches Thema schreiben. Ich wär euch echt dankbar, wenn ihr mir beim Verständnis eines Ausschnittes aus einem Buch über den Satz von Euler helfen könntet. http://freenet-homepage.de/evahhh/Unformungen.JPG Dazu zwei Fragen:Wie kommt man auf $\begin{eqnarray} (80+1)^49 \equiv (480+1)9 \end{eqnarray}$ und auf $\begin{eqnarray} (10-1)^{89}\equiv -\begin{pmatrix} 89 \\ 2 \end{pmatrix} 100+8910-1 \end{eqnarray}$ ? Das Kapitel steht im Buch relativ weit vorne, aber ich ich bin schon seit 2 Stunden am rumblättern und finde die Stellen nicht, die diese Zwischenschritte rechtfertigen. Sind das vielleicht irgendwelche Sätze, die dummerweise noch nen Namen haben, oder weiß jemand vielleicht einen (oder zwei) kurzen* und verständlichen Beweis, dass man so umformen darf?
20.01.2007, 16:26	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist einfach die Anwendung des binomischen Satzes: Für $\begin{eqnarray} n\geq 1 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} (80+1)^n = \sum_{k=0}^n ~ \binom{n}{k} 80^k\cdot 1^{n-k} \equiv \sum_{k=0}^1 ~ \binom{n}{k} 80^k \mod 400 \end{eqnarray}$ Warum werden alle Summenglieder $\begin{eqnarray} k\geq 2 \end{eqnarray}$ weggeworfen? Nun, einfach weil die Potenzen $\begin{eqnarray} 80^k \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k\geq 2 \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} 80^2=6400 \end{eqnarray}$ teilbar sind, und 6400 ist ein Vielfaches von 400. Dasselbe in grün dann unten: Für $\begin{eqnarray} n\geq 2 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} (10-1)^n = \sum_{k=0}^n ~ \binom{n}{k} 10^k\cdot (-1)^{n-k} \equiv \sum_{k=0}^2 ~ \binom{n}{k} 10^k\cdot (-1)^{n-k} \mod 1000 \end{eqnarray}$ , hier natürlich, weil $\begin{eqnarray} 10^k \end{eqnarray}$ für die weggeworfenen $\begin{eqnarray} k\geq 3 \end{eqnarray}$ durch 1000 teilbar ist.
20.01.2007, 16:37	nicht mehr frustriert	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow, dankeschön. Is ja alles ganz einfach, wenn man weiß wie's geht
20.01.2007, 16:40	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Manche Bücher sind halt anstrengender zu lesen, weil sie derartiges Mitdenken erfordern. Ein kleiner Hinweis auf den Binomischen Satz im Buch hätte ja nicht geschadet, aber vielleicht gab es ja vorher schon ähnliche Beispiele?
20.01.2007, 17:11	360s	Auf diesen Beitrag antworten »
Darf ich fragen aus welchem Buch die Aufgabe stammt?
20.01.2007, 22:20	nicht mehr frustriert	Auf diesen Beitrag antworten »
"Einführung in die Zahlentheorie" von Bundschuh, Springer Verlag, 5. Auflage, S. 98
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21.01.2007, 13:25	noch nicht frustriert	Auf diesen Beitrag antworten »
Nochmal was: wenn man sich die Aufgabenstellung anschaut, reicht ja erstmal die Existenz einer multiplikativen (Restklassen)Gruppe. Bei den Umformungen taucht dann aber mal ein + auf; setzt man dabei dann die Existenz eines Restklassenringes voraus? Ist zwar bei den ganzen Zahlen kein Problem, aber mal so theoretisch...?
21.01.2007, 13:27	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Es wird im Restklassenring gerechnet, ja. Ist doch deutlich gekennzeichnet durch das "mod 400" bzw. "mod 1000".
21.01.2007, 13:34	verunsichert	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber würde für mod 400 nicht auch schon eine Restklassengruppe ausreichen?
21.01.2007, 13:38	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Oben im Beispiel wird addiert und multipliziert...
21.01.2007, 13:54	...	Auf diesen Beitrag antworten »
schon klar...

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