abg. Hülle einer off. Kugel ungleich Abschluss abg. Kugel

17.03.2012, 21:12	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
abg. Hülle einer off. Kugel ungleich Abschluss abg. Kugel Meine Frage: Nennen Sie ein Beispiel dafür, daß die abgeschlossene Hülle einer offenen Kugel mit Radius $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ um den Mittelpunkt $\begin{eqnarray} x\in X \end{eqnarray}$ i.A. nicht identisch ist mit der abgeschlossenen Kugel. Begründung! Meine Ideen: Also ich nehme eine Menge $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ , die mindestens zwei Punkte enthält, versehen mit der diskreten Metrik, d.h. $\begin{eqnarray} d(x,y)=\begin{cases} 1, & x\neq y\\ 0, & x=y \end{cases} \end{eqnarray}$ Jetzt gucke ich mir die offene Kugel $\begin{eqnarray} K(x,1)=\left\{y\in X~\|~d(x,y)<1\right\}=\left\{x\right\} \end{eqnarray}$ an. Der Abschluss dieser offenen Kugel ist doch jetzt die Vereinigung ihrer inneren Punkte und ihrer Randpunkte. $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ist innerer Punkt von $\begin{eqnarray} K(x,1) \end{eqnarray}$ , denn es gibt ja eine offene Kugel um $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , die ganz in $\begin{eqnarray} K(x,1) \end{eqnarray}$ liegt, etwa $\begin{eqnarray} K(x,1/2)\subseteq K(x,1) \end{eqnarray}$ . Ansonsten gibts keine inneren Punkte (welche denn, da ist ja sonst kein Punkt in der offenen Kugel, für den man eine offene Kugel fände, die in $\begin{eqnarray} K(x,1) \end{eqnarray}$ liegt). Randpunkte hat $\begin{eqnarray} K(x,1) \end{eqnarray}$ keine. $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ist kein Randpunkt, weil nicht, weil etwa $\begin{eqnarray} K(x,1/2) \end{eqnarray}$ leeren Schnitt hat mit $\begin{eqnarray} X\setminus K(x,1) \end{eqnarray}$ . Und auch sonst gibt es keine Randpunte; immer kann man eine kleine Kugel finden, die leeren Schnitt hat entweder mit $\begin{eqnarray} K(x,1) \end{eqnarray}$ oder mit $\begin{eqnarray} X\setminus K(x,1) \end{eqnarray}$ . Somit: $\begin{eqnarray} \overline{K(x,1)}=\left\{x\right\} \end{eqnarray}$ . Naja und wenn ich mir nun die abgeschlossene Kugel $\begin{eqnarray} \overline{K}(x,1)=\left\{y\in X~\|~d(x,y)\leq 1\right\} \end{eqnarray}$ ansehe so sind in dieser Menge ja ALLE Punkte der Menge $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ enthalten. Also $\begin{eqnarray} \overline{K}(x,1)=X \end{eqnarray}$ . Und damit: $\begin{eqnarray} \overline{K(x,1)}\subset \overline{K}(x,1) \end{eqnarray}$ , also ECHTE Teilmenge. So, das wäre meine Begründung. Nun würde ich mich freuen, wenn mir jemand sagen würde, ob das so in Ordnung ist. Danke! Dennis
17.03.2012, 22:24	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Also den erstenTeil kann man viel schneller erledigen, wenn man beachtet, dass {x} abgeschlossen ist.
17.03.2012, 22:33	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay. Aber es ist so okay? Wenn auch umständlich?
17.03.2012, 22:36	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Jop.
17.03.2012, 22:44	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, dankesehr! Dann werde ich jetzt noch Deinen Hinweis beherzigen.

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