Stetigkeit und Abschluss |
| 18.03.2012, 00:23 | qed1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Stetigkeit und Abschluss ich habe eine dumme Frage: Es gibt in der Topologie verschiedene äquivalente Definitionen der Stetigkeit (die Epsilon-Delta Def, offene Mengen, die mit abgeschlossenen Mengen). Aber eine Definition verstehe ich beim besten Willen nicht, unszwar die Folgende: Eine Funktion f:X->Y zwischen zwei topologischen Räumen ist genau dann stetig, wenn gilt: Für jede Teilmenge A von X gilt: das Bild des Abschlusses von A liegt im Abschluss des Bildes von A. Mein Problem ist schon, dass mir noch nichtmal klar ist, warum das Bild des Abschlusses von A im Abschluss des Bildes von A liegen muss? Nach meinem Verständnis sind die beiden gleich?! Und was ist der Zusammenhang zur Stetigkeit? Könnte mir vielleicht jemand ein Beispiel dazu geben? Vielen Dank, Grüße |
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| 18.03.2012, 00:34 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hi, Schau dir z.B. die Sprung-Funktion an. Was ist da z.B. der Abschluss von {x<0}, dessen Bild unter h und was der Abschluss von h({x<0})? |
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| 18.03.2012, 00:48 | qed1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hi, Danke für die Antwort. An so eine Funktion habe ich zugegebenermaßen nicht gedacht, aber trotzdem bestätigt sie meine Denkweise: Also: Der Abschluss im Allgemeinen ist doch die Vereinigung der Randpunkte mit ihrem offenen Kern. Dann ist der Abschluss von h({x<0})={0,1} und der Abschluss von{x<0}, dessen Bild unter h auch gerade {1,0}. Warum? Ich bilde doch zunächst den Abschluss von{x<0}, das ist doch gerade {x<0} vereinigt mit {x=0} . Irgendwo muss ich einen Denkfehler haben? |
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| 18.03.2012, 05:11 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Über das hier solltest du nochmal nachdenken. Ist das wirklich der Abschluss von h({x<0})={0}? |
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| 18.03.2012, 13:10 | qed1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also ich baue das nochmal von Anfang auf: Nochmal: Die Definition war: Eine Funktion heißt stetig genau dann, wenn das Bild des Abschlusses (*) einer Teilmenge im Bild des Abschlusses (**) dieser Teilmenge enthalten ist. Ich habe die Sachen mit (*) und (**) gekennzeichnet, damit auch keine Missverständnisse entstehen. Also zu deiner FUnktion: Das erste, was mich etwas verwirrt ist, dass sie nochnichtmal stetig ist (was hat denn konkret Stetigkeit mit dieser Eigenschaft oben zu tun?). Zum Abschluss: (*) Vorgehensweise: Ich bilde den Abschluss von x<0 , also gerade x<=0 und dann setze ich das in die Funktion ein, was gerade {0,1} ist, weil 0 dabei ist. (**): Ich setze das Intervall zunächst ein, was gerade {0} ist... Ah, ok, der Abschluss davon ist {0}, richtig? Ok, dann ist schonmal klar, dass das nicht gleich sein muss, aber was hat das mit Stetigkeit konkret zu tun? Vielen Dank |
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| 18.03.2012, 13:21 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja.
Die von dir genannte Eigenschaft ist halt eine Charakterisierung der Stetigkeit einer Funktion. Wenn man will, könnte man diese als Definition der Stetigkeit nehmen. Aber das hast du ja schon selbst geschrieben:
Ich bin mir nicht sicher, wonach du nun überhaupt fragst. 
Was stört dich denn an dieser der Stetigkeit äquivalenten Eigenschaft? |
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