Funktion auf Stetigkeit untersuchen

18.03.2012, 01:14	MathenieteL	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion auf Stetigkeit untersuchen Hallo! Ich habe grade versucht diese Aufgabe mit meinen Unterlagen zu lösen und würde gerne wissen, ob meine Überlegungen so richtig sind. $\begin{eqnarray} f(x)=\begin{pmatrix} \frac{1}{2}x + 1 fuer alle x\leq 1 \\ \frac{1}{2}e^{x-1}+2x fuer alle x>1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich hoffe ihr versteht, wie ich das mit der Funktion meine. Da sollte eigentlich nur eine geschweifte Klammer links stehen... Also f ist nun stetig auf $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ \{1}, und da muss man nun die Stelle 1 extra untersuchen mit lim oder? Also für x=1: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 1-} f(x)= \lim_{x \to 1-} \frac{1}{2} x+1 = \frac{1}{2} \cdot 1+ 1= \frac{3}{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 1+} f(x)= \lim_{x \to 1+}\frac{1}{2}e^{x-1}+2x= \frac{1}{2}e^{1-1}+2\cdot 1 = \frac{1}{2}\cdot 1+2=\frac{1}{2}e^{0}+2 = \frac{5}{2} \end{eqnarray}$ da daher $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 1-} f(x)= \frac{3}{2}\neq \frac{5}{2} = f(x) \end{eqnarray}$ , ist die Funktion f nicht stetig in x=1. Insgesamt ist f also stetig in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ \{1} und unstetig in x = 1. Ich hoffe ihr könnt mir folgen und ich habe das so richtig aus meinen Unterlagen verstanden.
18.03.2012, 09:02	Paranoide	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist sieht alles soweit richtig aus, nur dass ich für die erste Funktion, also die Grenzwertberechnung von "links", einfach direkt x=1 ohne Limes in die Funktion eingesetzt hätte, da sie ja für "kleiner GLEICH 1" definiert ist. Und dann eben für die andere Funktion genau so, wie es da steht, weil diese ja nicht für 1 definiert ist. LG Michel
18.03.2012, 18:32	MathenieteL	Auf diesen Beitrag antworten »
Also in meinen Unterlagen wurde eine Aufgabe dieser Art immer mit lim von links und von rechts gelöst, egal ob da nur kleiner/größer oder kleiner gleich/größer gleich steht. Ist dann die Lösung hier so noch nicht komplett?
18.03.2012, 19:09	Paranoide	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, nein, ich denke, das ist so komplett. Das Argument wird wohl sein, dass du weißt, dass die erste Funktion stetig ist und somit ist der Grenzwert gegen 1 der gleiche wie wenn du direkt 1 einsetzt (wie du in dieser Aufgabe gezeigt hast, muss das für unstetige Funktionen nicht gelten!). Für Schulmathematik ist das alles soweit ok, schätze ich, auch wenn die Grenzwertberechnung selbst eigentlich etwas anders gemacht wird. Du hast in diesem Fall ja auch nicht viel anderes gemacht als einfach die Grenzwerte eingesetzt: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 1-} \frac{1}{2} x+1 = \frac{1}{2} \cdot 1+ 1 \end{eqnarray}$ Korrekterweise würde man hier eine Folge nehmen, die im Unendlichen gegen deinen Grenzwert konvergiert, in diesem Fall 1, zum Beispiel $\begin{eqnarray} a_n = 1 - \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ Diese setzt du dann für x ein und lässt n gegen unendlich laufen: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 1-} f(x) = \lim_{n \to \infty} f(a_n) = \frac{1}{2} \cdot \left(1 - \frac{1}{n}\right) + 1 = \frac{1}{2} \cdot \left(1 - 0\right) + 1 = \frac{3}{2} \end{eqnarray}$ Du simulierst mit dieser Folge im Grunde das Annähern an den Punkt 1 von unten (um sich von oben anzunähern, würdest du dann "a_n = 1 + 1/n" nehmen). Aber dies nur der Vollständigkeit halber, wahrscheinlich ist das für euch nicht wichtig... LG Michel

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