Vollständige Induktion

18.03.2012, 09:58

Esto

Vollständige Induktion

Hallo,
ich möchte folgendes:
$\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R}, k \in \mathbb{N} \begin{pmatrix} x \\ k \end{pmatrix} := \Pi^{k}_{j=1} \frac{x-j+1}{j} = \frac{x\cdot (x-1) \cdot ... \cdot (x - k +1)}{k!}; \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix} : = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x+1 \\ k + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ k +1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
mittels vollständiger Induktion zeigen
Der Induktionanfang mit k = 0 ist leicht gemacht. Es kommt auf beiden Seiten x +1 heraus.

Ich komme beim Induktionsschritt jedoch nicht weiter
$\begin{eqnarray*} k \rightarrow k +1 \begin{pmatrix} x+ 1 \\ k +2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ k+2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x \\ k+ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x+ 1 \\ k + 2 \end{pmatrix} = \frac{(x+1) \cdot x \cdot ... \cdot (x -k)}{(k+2)!} \end{eqnarray*}$

Ich weiß hier nicht weiter... wie soll ich da die Induktionsvoraussetzung einbringen ....

18.03.2012, 10:45

rslz

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Hm, weiß nicht wieso du das mit Ind. machen willst. Man kann es direkt in 2 Zeilen umformen.

19.03.2012, 21:51

Esto

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Sicher, mit umformen wäre es leicht, indem man sich die Brüche vornimmt, sie gleichnamig macht das ganze addiert, ausklammert etc. pp. . Aber ich soll's es halt mit Induktion machen... Und mir fällt immer noch nichts gescheites ein.

20.03.2012, 09:57

Esto

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Keine Ahnung warum mir keiner mehr helfen will .... xD Naja ich glaube ich habe es jetzt selber gelöst.
Also Induktionsvoraussetzung ist : $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x+1 \\ k +1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ k \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x \\ k+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann der S chritt:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x+1 \\ k + 2 \end{pmatrix} = \frac{(x+1) \cdot x \cdot (x-1) ... \cdot (x-k)}{(k+2)!} = \frac{x-k}{(k+2)} \cdot \left( \frac{(x + 1) \cdot x \cdot (x-1) ... \cdot (x-k + 1)}{ (k+1)! } \right ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overset{I.V.}{=} \frac{x-k}{k+2} \cdot \left(\frac{x \cdot (x - 1) \cdot ... \cdot (x-k+1)}{ k!} + \frac{x\cdot (x-1) \cdot ... \cdot (x-k)}{(k+1)!}\right ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \left( \frac {x-k}{k+2} \right ) \cdot \frac{(x+1) \cdot x \cdot (x-1) \cdot ... \cdot (x-k+1)}{(k+1)!} = \begin{pmatrix} x+1 \\ k + 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe es ist richtig. Eigentlich ganz einfach ... (Brett vorm Kopp gehabt)

20.03.2012, 10:04

HAL 9000

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In einer grandios überlangen Gleichungskette hast du $\begin{eqnarray*} \binom{x+1}{k+2} = \binom{x+1}{k+2} \end{eqnarray*}$ nachgewiesen, das hättest du auch kürzer haben können.

Tatsächlich hättest du hier $\begin{eqnarray*} \binom{x+1}{k+2} = \binom{x}{k+1} + \binom{x}{k+2} \end{eqnarray*}$ nachweisen müssen. unglücklich

-------------------------------------

Das ganze geht vollkommen ohne Induktion, indem man einfach mal rechts beginnend mit

$\begin{eqnarray*} \binom{x}{k} + \binom{x}{k+1} \end{eqnarray*}$ alles mal auf den gemeinsamen Bruchstrich $\begin{eqnarray*} (k+1)! \end{eqnarray*}$ bringt und dann im Zähler zusammenfasst.

20.03.2012, 10:12

Esto

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Zitat:

Original von HAL 9000

Das ganze geht vollkommen ohne Induktion, indem man einfach mal rechts beginnend mit

$\begin{eqnarray*} \binom{x}{k} + \binom{x}{k+1} \end{eqnarray*}$ alles mal auf den gemeinsamen Bruchstrich $\begin{eqnarray*} (k+1)! \end{eqnarray*}$ bringt und dann im Zähler zusammenfasst.

Du hättest meinen Post weiter oben lesen sollen, da habe ich bereits geschrieben, dass mir diese Vorgehensweise bekannt ist, ich es aber trotzdem mit Induktion machen will.

Zitat:

Original von HAL 9000 In einer grandios überlangen Gleichungskette hast du $\begin{eqnarray*} \binom{x+1}{k+2} = \binom{x+1}{k+2} \end{eqnarray*}$ nachgewiesen, das hättest du auch kürzer haben können.

Tatsächlich hättest du hier $\begin{eqnarray*} \binom{x+1}{k+2} = \binom{x}{k+1} + \binom{x}{k+2} \end{eqnarray*}$ nachweisen müssen. unglücklich

Mist!

20.03.2012, 10:14

HAL 9000

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Na dann bleibt es eben bei dem Hinweis, dass dein Induktionsschritt vollkommen ungeeignet ist.

20.03.2012, 10:16

Esto

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Ja .... .

20.03.2012, 10:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von Esto
Aber ich soll's es halt mit Induktion machen... Und mir fällt immer noch nichts gescheites ein.

Es gibt übrigens keine Verpflichtung, in einem Induktionsschritt die Induktionsvoraussetzung zu nutzen. Damit führt man zwar ad absurdum, dass man überhaupt Vollständige Induktion durchführt, aber rein formal ist dagegen nichts einzuwenden, wenn man schon auf die schwachsinnige Verpflichtung eingehen muss, unbedingt einen Induktionsbeweis zu führen. Augenzwinkern

20.03.2012, 10:57

Mystic

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Zitat:

Vielleicht wollte er damit ja auch nur ins "Guiness Buch der Rekorde" kommen für die "nutzloseste Gleichungsumformung aller Zeiten"... smile

Zitat:

Original von HAL 9000
Das ganze geht vollkommen ohne Induktion, indem man einfach mal rechts beginnend mit

$\begin{eqnarray*} \binom{x}{k} + \binom{x}{k+1} \end{eqnarray*}$ alles mal auf den gemeinsamen Bruchstrich $\begin{eqnarray*} (k+1)! \end{eqnarray*}$ bringt und dann im Zähler zusammenfasst.

Ja, das ist natürlich der übliche Weg hier... Für Leute, die gerne "ausgetretene Pfade" vermeiden, hätte ich noch anzubieten, dass man in die simple Gleichung

$\begin{eqnarray*} (1+z)^{x+1}=(1+z)^x+z(1+z)^x \end{eqnarray*}$

die binomischen Reihen einsetzt, ein bißchen Indextransformation macht und damit auf das gewünschte Resultat kommt... Das hat überdies den Vorteil, dass man für mein Gefühl so am besten sieht, "warum" die Behauptung eigentlich gilt...

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